Аксиомы Пеано

Аксиомы Пеано

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел.

Содержание

О неполноте

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна.

Формулировки

Словесная

  1. 1 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
  3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число \,\! a непосредственно следует как за числом \,\! b, так и за числом \,\! c, то \,\! b и \,\! c тождественны;
  5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа \,\! n, вытекает, что оно верно для следующего за \,\! n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая

Введём функцию \,\! S(x), которая сопоставляет числу \,\! x следующее за ним число.

  1. 1\in\mathbb{N};
  2. x\in\mathbb{N}\rightarrow S(x)\in\mathbb{N};
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\;(S(x)=1);
  4. S(b)=a\rightarrow(S(c)=a\rightarrow b=c);
  5. P(1)\wedge\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow\forall n\in\N(P(n)).

Или так:

  1. 1\in\mathbb{N};
  2. S:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\setminus\{1\};
  3. \exist S^{-1};
  4. 1\in M\land\forall n\in \mathbb{N}(n\in M\Rightarrow S(n)\in M)\Rightarrow \mathbb{N}\subset M.

Дословный текст

Текст аксиом Пеано, как он приведен в оригинальном издании Пеано.

  1. «1 есть натуральное число»;
  2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
  3. «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
  4. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
  5. Аксиома полной индукции.

Формализация арифметики

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

  1. \,\! x+0=x
  2. \,\! x_1+S(x_2)=S(x_1+x_2)
  3. \,\! x \cdot 0=0
  4. \,\! x_1 \cdot S(x_2)=x_1 \cdot x_2+x_1

История

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Пеано. Аксиомы Пеано основывались на более ранних построениях Грассмана. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана (англ.) в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала \epsilon_0. Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Литература



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Аксиомы Пеано" в других словарях:

  • ПЕАНО (Peano) Джузеппе — (1858 1932) итальянский математик. Труды по основаниям математики, математическому анализу. Автор аксиоматики натурального ряда чисел (аксиомы Пеано) …   Большой Энциклопедический словарь

  • Пеано Джузеппе — (Peano) (1858 1932), итальянский математик. Труды по основаниям математики, математическому анализу. Автор аксиоматики натурального ряда чисел (аксиомы Пеано). * * * ПЕАНО Джузеппе ПЕАНО (Peano) Джузеппе (1858 1932), итальянский математик. Труды… …   Энциклопедический словарь

  • ПЕАНО — (Peano), Джузеппе (27 авг. 1858 – 20 апр. 1932) – итал. математик и логик. Проф. математики в Туринском ун те (1890–1932). Известен важными результатами в матем. анализе, теории дифференц. уравнений (где ему принадлежит классич. формулировка осн …   Философская энциклопедия

  • ПЕАНО АКСИОМЫ — система из пяти аксиом для натурального ряда Nи функции S(прибавление 1) на нем, введенная Дж. Пеано (G. Реапо, 1889): для любого свойства M (аксиома индукции). В первом варианте вместо 0 использовалась 1. Сходные аксиомы независимо предложил Р.… …   Математическая энциклопедия

  • Пеано Д. — ПЕÁНО (Peano) Джузеппе (1858–1932), итал. математик. Тр. по основаниям математики, матем. анализу. Автор аксиоматики натурального ряда чисел (аксиомы П.) …   Биографический словарь

  • Формальная арифметика — Аксиомы Пеано одна из систем аксиом для натуральных чисел. Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства многих свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для… …   Википедия

  • Натуральное число — Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.). Натуральные числа (естественные числа)  числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисл …   Википедия

  • Арифметика — Ганс Себальд Бехам. Арифметика. XVI век Арифметика (др. греч. ἀ …   Википедия

  • Натуральные числа — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). Существуют два подхода к определению натуральных чисел числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй,… …   Википедия

  • Уайтхед, Альфред Норт — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Уайтхед. Альфред Норт Уайтхед (англ. Alfred North Whitehead; 15 февраля 1861(18610215), Рамсгит, Кент, Великобритания  30 декабря 1947, Кембридж, Массачусетс, США) … …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»