Дистрибутивная решётка

Дистрибутивная решётка — решетка, в которой справедливо тождество

$(a+b)c = ac + bc$

равносильное тождествам

$ab+c = (a+c)(b+c)$

и

$(a+b)(a+c)(b+c)=ab+ac+bc$

Дистрибутивные решётки характеризуются тем, что все их выпуклые подрешётки служат смежными классами конгруэнций. Всякая дистрибутивная решётка изоморфна решётке подмножеств (но не обязательно всех) некоторого множества. Частным случаем дистрибутивных решёток являются импликативные решётки, например, булевы алгебры. В дистрибутивных решётках для любого конечного множества $I$ выполняются равенства

$a \sum _{i \in I} b_i = \sum _{i \in I} ab_i$

и

$a+\prod _{i \in I} b_i = \prod _{i \in I} (a+b_i)$

а также

$\prod _{i \in I} \sum _{i \in J(i)} a_{ij} = \sum _{\phi \in \Phi} \prod _{i \in I} a_{i \phi(i)}$

и

$\sum _{i \in I} \prod _{j \in J(i)} a_{ij} = \prod _{\phi \in \Phi} \sum _{i \in I} a_{i \phi (i)}$

где $J(i)$ — конечные множества, а $\Phi$ — множество всех однозначных функций $\phi$, ставящих в соответствие элементу $i$ из $I$ элемент $\phi(i)$ из $J(i)$. В полной дистрибутивной решётке указанные равенства имеют смысл и в случае бесконечных множеств $I$ и $J(i)$. Однако справедливы они не всегда. Полные дистрибутивные решётки, удовлетворяющие последним двум тождествам для любых множеств $I$ и $J(i)$, называются вполне дистрибутивными.

См. также

• Решётка Стоуна
• Булева алгебра

Литература

• Математическая энциклопедия
• Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970.
• Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1982. — 456 с.
• Биркгоф Г. Теория решёток. — М.: Наука, 1984. — 568 с.