Решётка Стоуна

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Стоуна решётка — дистрибутивная решётка $L$ с псевдодополнениями, в которой $a*+a**=1$ для всех $a \in L$. Дистрибутивная решётка $L$ с псевдодополнениями является структурной решёткой тогда и только тогда, когда теоретико-структурное объединение двух её различных минимальных простых идеалов совпадает с $L$ (теорема Гретцера — Шмидта^[1]).

Структурная решётка, рассматриваемая как универсальная алгебра с основными операциями $< \vee,\land,*,0,1 >$, называется алгеброй Стоуна. Всякая алгебра Стоуна является подпрямым произведением двухэлементных и трёхэлементных цепей. В решётке с псевдодополнениями элемент $x$ называется плотным, если $x*=0$. Центр $C(L)$ решётки Стоуна $L$ — булева алгебра, а множество $D(L)$ всех её плотных элементов — дистрибутивная решётка с единицей. При этом гомоморфизм $\phi^L$ решётки $C(L)$ в решётку $F(D(L))$ фильтров решётки $D(L)$, определяемый условием $a \phi^L = \{ x|x \in D(L), x \ge a* \},$ сохраняет 0 и 1.

Тройкой, ассоциированной с алгеброй Стоуна $L$, называется тройка $< C(L), D(L), \phi^L >$. Естественным образом определяются гомоморфизмы и изоморфизмы троек. Произвольная тройка $< C, D, \phi >$, где C — булева алгебра, $D$ — дистрибутивная решётка с 1, а $\phi$: $C \to F(D)$ — гомоморфизм, сохраняющий 0 и 1, изоморфна тройке, ассоциированной с некоторой алгеброй Стоуна; алгебры Стоуна изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны ассоциированные с ними тройки (теорема Чена — Гретцера^[2]).

Примечания

1. ↑ Grätzer G., Schmidt E. T. «Acta math. Acad. sci. hung.», 1957, v. 8, fasc. 3-4, p. 455—460
2. ↑ Chen C. C., Grätzer G. «Canad. J. Math.», 1969, v.21, № 4, p. 884—903.

Литература

• Биркгоф Г. Теория решёток. — пер. с англ., М., 1984.
• Фофанова Т. С. Упорядоченные множества и решётки. — в. 3, Саратов, 1975. С. 22-40.