Приближение почти свободных электронов

Приближение почти свободных электронов — метод в квантовой теории твёрдого тела, в котором периодический потенциал кристаллической решётки считается малым возмущением относительно свободного движения валентных электронов.

Приближение почти свободных электронов предусматривает возникновение узких запрещённых зон в результате брегговской дифракции электронов на периодическом потенциале кристаллической решётке.

Математическая формулировка

Гамильтониан, что описывает движение электрона в потенциальном поле ядер атомов в приближении среднего поля задаётся формулой

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\mathbf{r})$,

где $\hbar$ — постоянная Планка, m — масса электрона,$V(\mathbf{r})$ — периодический потенциал, который учитывает взаимодействие электрона с кристаллической решёткой и другими электронами.

Волновую функцию электрона, которая должна удовлетворять теореме Блоха, можно искать в виде разложения в ряд Фурье

$\psi_{\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}} \sum_{\mathbf{G}} a_{\mathbf{k} +\mathbf{G}}e^{i\mathbf{G}\cdot \mathbf{r}}$,

где $\mathbf{k}$ — волновой вектор, $\mathbf{G}$ — вектор обратной решётки.

Если потенциал $V(\mathbf{r})$ малый по величине по сравнению с кинетической энергией электрона, то движение электронов можно считать почти свободным. Энергия электрона задаётся формулой

$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.$

Эта формула справедлива всюду в зоне Бриллюэна, кроме того случая, когда волновая функция поступательного движения электрона будет интерферировать с волной, рассеянной на периодическом потенциале. Такая ситуация складывается тогда, когда $\mathbf{k} \approx \mathbf{G}/2$. В этой области волновых векторов используется приближение, согласно которому амплитуды прямой и рассеянной волны определяются системой уравнений:

$\left( \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - E \right) a_{\mathbf{k}} + V_{\mathbf{-G}}a_{\mathbf{k} - \mathbf{G}} = 0$,

$\left( \frac{\hbar^2 (\mathbf{k} - \mathbf{G})^2}{2m} - E \right) a_{\mathbf{k} - \mathbf{G}} + V_{\mathbf{G}}a_{\mathbf{k}} = 0$,

где $V_{\mathbf{G}}$ — коэффициенты разложения потенциала в ряд Фурье. Эта система уравнений имеет нетривиальное решение при выполнении условия

$\left( \frac{\hbar^2 k^2}{2m} - E \right)\left( \frac{\hbar^2 (\mathbf{k} - \mathbf{G})^2}{2m} - E \right) - V_{\mathbf{G}}V_{\mathbf{-G}} = 0$,

что задаёт закон дисперсии электронных состояний на границе зоны Бриллюэна. Непосредственно на границе ($\mathbf{k} \cdot \mathbf{G} = \mathbf{G}^2/2$)

$E = \frac{\hbar^2 G^2}{8m} \pm |V_{\mathbf{G}}|$.

В промежутке энергий между $E = \frac{\hbar^2 G^2}{8m} - |V_{\mathbf{G}}|$ и $E = \frac{\hbar^2 G^2}{8m} + |V_{\mathbf{G}}|$ электронных уровней нет, чем определяется существование узкой запрещённой зоны.

См. также

• Одноэлектронное приближение
• Приближение сильно связанных электронов

Литература

Ансельм А.И. Введение в физику полупроводников.. — Москва: Наука., 1978.