Конечное расширение

Коне́чное расшире́ние - расширение поля $E\supset K$, такое, что E конечномерно над K как векторное пространство. Размерность векторного пространства E над K называется степенью расширения и обозначается [E:K].

Свойства конечных расширений

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть [E:K]=n, так как для любого элемента $\alpha\in E$ n+1 элемент 1,α,α²,...αⁿ не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над K степени не выше n, такой, что α является его корнем.

Простое алгебраическое расширение E=K(α) является конечным. Если неприводимый многочлен α над K имеет степень n, то [E:K]=n

В башне полей $K\supset E \supset F$, поле F конечно над K тогда и только тогда, когда F конечно над E и E конечно над K. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если e₁,...e_n - базис E над K и f₁,...f_m - базис F над E то f₁e₁, f₁e₂,... f₁e_n, f₂e₁,...f_me₁,...f_me_n - базис F над K, отсюда [F:E][E:K]=[F:K]

Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса E=K(e₁,...e_n). Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, K(α₁,α₂,...α_n)=K(α₁)(α₂)...(α_n). Элементы α_i будучи алгебраическими над K остаются таковыми и над бо́льшим полем K(α₁)...(α_i-1). Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.

Если $E \supset K$ конечно, то для любого расширения $F \supset K$ то, (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является конечным расширением F)

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967