Квантор

Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих выcказывание. Чаще всего упоминают:

• Квантор всеобщности (обозначение: $\forall$, читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»).
• Квантор существования (обозначение: $\exists$, читается: «существует…» или «найдётся…»).

В математической логике приписывание квантора к формуле называется связыванием или квантификацией.

В многозначных логиках также вводятся и другие кванторы, например, квантор плюральности (квантор Решера) (обозначается перевёрнутой M, читается «для большинства …»).

Примеры

Обозначим $P(x)$ предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

1. любое натуральное число кратно 5;
2. каждое натуральное число кратно 5;
3. все натуральные числа кратны 5;

следующим образом:

$(\forall x \in \mathbb{N}) P(x)$.

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

1. существуют натуральные числа, кратные 5;
2. найдётся натуральное число, кратное 5;
3. хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Их формальная запись:

$(\exists x \in \mathbb{N}) P(x)$.

Введение в понятие

Пусть на множестве $X$ простых чисел задан предикат $P(x)$: «Простое число $x$ нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число $x$ нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 — простое чётное число).

Подставив перед данным предикатом $P(x)$ слово «существует», получим истинное выcказывание «Существует простое число $x$, являющееся нечётным» (например, $x=3$).

Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова («все», «существует» и другие), называемые в логике кванторами.

Кванторы в математической логике

• Высказывание $\forall xP(x)$ означает, что область значений переменной $x$ включена в область истинности предиката $P(x)$.

(«При всех значениях (x) утверждение верно»).

• Высказывание $\exists xP(x)$ означает, что область истинности предиката $P(x)$ непуста.

(«Существует (x) при котором утверждение верно»).

Свободные и связанные переменные

Множество свободных переменных* формулы F определяется рекурсивно, следующим образом:

Свободные переменные.

• Все переменные, входящие в атомарную формулу, являются свободными переменными этой формулы,
• свободные переменные формулы F являются свободными переменными формулы ¬F,
• переменные, являющиеся свободными для хотя бы одной из формул F или G, являются свободными переменными формулы (F Д G),
• все свободные переменные формулы F кроме v являются свободными переменными формулы Kv F.

Замкнутая формула.

• Формула без свободных переменных называется замкнутой формулой, или предложением.

Связанная переменная.

• Переменная v связана в формуле F, если F содержит вхождение Kv, где K — квантор.

Связанное переименование, свободное переименование

Операции над кванторами

Правило отрицания кванторов — применяется для построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид:

$\lnot (\forall x)P(x) = (\exists x) \lnot P(x)$
$\lnot (\exists x)P(x) = (\forall x) \lnot P(x)$

История появления

Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Так, Томас Гоббс считал, что они являются частями имен.^[1]

Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 г., в книге Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения $\exists$ для квантора существования (перевёрнутая первая буква англ. Exists — существует), предложенное Чарльзом Пирсом в 1885 г., и $\forall$ для квантора общности (англ. All — все), образованное Герхардом Генценом в 1935 г. по аналогии с символом квантора существования. Термины «квантор», «квантификация» также предложил Пирс.

Литература

• Клини С. К. Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72—80, 130—138
• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Изд. 3-е, стереотипное. — М.: КомКнига, 2006. 240 с.
• Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973, 400 с.
• Чёрч А. Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, с. 42—48.

Ссылки

• Кванторы.

Примечания

1. ↑ «Но слова: всякое, любое, некоторое и т. д., указывающие на всеобщее или частное значение других слов, являются не именами, а только частями имен». (Томас Гоббс «О теле»)