Простые теоремы в алгебре множеств

Курсы элементарной дискретной математики иногда оставляют у студентов ошибочное представление о том, что основой теории множеств является алгебра объединения, пересечения и дополнения множеств.

Для того, чтобы получить представление о некоторых основных разделах теории множеств, смотрите также статьи множество, наивная теория множеств, аксиоматическая теория множеств, теорема Кантора-Бернштейна-Шрёдера, диагональный аргумент Кантора, первое доказательство Кантора о несчётности, теорема Кантора, теорема о вполне упорядоченности, аксиома выбора, лемма Цорна.

Здесь перечислены без доказательств некоторые простые свойства операций пересечения, объединения и дополнения множеств. Эти свойства могут быть показаны наглядно с помощью диаграмм Венна.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1: Для любых множеств A, B и C:

• A ∩ A = A;
• A ∪ A = A;
• A \ A = {};
• A ∩ B = B ∩ A;
• A ∪ B = B ∪ A;
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);
• C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B);
• C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B);
• C \ (B \ A) = (A ∩ C) ∪ (C \ B);
• (B \ A) ∩ C = (B ∩ C) \ A = B ∩ (C \ A);
• (B \ A) ∪ C = (B ∪ C) \ (A \ C);
• A ⊆ B если и только если A ∩ B = A;
• A ⊆ B если и только если A ∪ B = B;
• A ⊆ B если и только если A \ B = {};
• A ∩ B = {} if and only if B \ A = B;
• A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B;
• A ∩ {} = {};
• A ∪ {} = A;
• {} \ A = {};
• A \ {} = A.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2: Для любого универсума U и подмножеств A, B и C из U:

• A′′ = A;
• B \ A = A' ∩ B;
• (B \ A)' = A ∪ B';
• A ⊆ B if and only if B ⊆ A;
• A ∩ U = A;
• A ∪ U = U;
• U \ A = A′;
• A \ U = {}.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3: (законы дистрибутивности): Для любых множеств A, B и C:

(a) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

(b) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Вышеприведённые утверждения также показывают, что булеан P(U) является булевой алгеброй.