Естественное преобразование

Есте́ственное преобразова́ние (функторный морфизм) — одно из основных понятий теории категорий.

Если $S$ и $T$ — ковариантные функторы из категории $\mathbf{Cat}_1$ в $\mathbf{Cat}_2$, то отображение, при котором каждому объекту $C$ категории $\mathbf{Cat}_1$ соответствует морфизм $h(C)\colon S(C) \to T(C)$ категории $\mathbf{Cat}_2$, причём для любого морфизма $f\colon C \to C'$ категории $\mathbf{Cat}_1$ диаграмма, изображённая на рисунке ниже, коммутативна, называется естественным преобразованием $h\colon S\to T$. В случае контравариантных функторов $S$ и $T$ определение аналогично (необходимо только обратить стрелки).

Примеры

Пример естественного преобразования

Примером естественного преобразования может служить определитель. В самом деле пусть $R$ — коммутативное кольцо, тогда квадратные матрицы порядка $n$ над $R$ образуют моноид по умножению, а $R'$ — мультипликативный моноид самого кольца $R$. Пусть $\mathbf{Mat}_n(R)$ будет функтором, переводящим кольцо $R$ в моноид матриц над ним. Поскольку определитель выражается через умножение, сложение и вычитание, которые сохраняются (что означает перестановочность морфизма и этих операций) морфизмами кольца $R$, то отображение $\mathbf{Mat}_n(R)\rightarrow \det(\mathbf{Mat}_n(R))$ будет естественным преобразованием между функтором $\mathbf{Mat}_n(R)$ и функтором, тождественно сопоставляющим каждому кольцу $R$ его мультипликативный моноид (оба функтора из категории $\mathbf{CRing}$ коммутативных колец в категорию моноидов $\mathbf{Mon}$).

Пример «неестественного» преобразования

Приведём пример преобразования, не являющегося естественным. Пусть $V$ — n-мерное векторное пространство над полем $\Bbb F$. $e_1,e_2,\dots,e_n$ — его базис, $e^1,e^2,\dots,e^n$ — базис сопряжённого пространства функционалов $D(V)$, такой что

$e^i(e_j) = \delta^i_j$

где $\delta^i_j$ — символ Кронекера. Все n-мерные пространства изоморфны. Положим

$k(e_i)=e^i$

и распространим $k$ линейно на всё пространство $V$. $k$ отображает тождественный (очевидно ковариантный) функтор $I$ в контравариантный функтор $D$, отображающий векторное пространство в сопряжённое пространство функционалов. Если мы возьмём категорию конечномерных векторных пространств, где морфизмами будут изоморфизмы $f$ (а не любые линейные отображения), то можно заменить контравариантный функтор $D$ ковариантным функтором $D'$ (где $D'(V) = D(V)$, $D'(f) = D(f^{-1})$). Преобразование $k\colon V \to D(V)$ не будет естественным даже в простейшем случае одномерного пространства над полем действительных чисел. В самом деле, пусть V одномерно и изоморфизм $f\colon V\to V$ является умножением на 2:

$f(e_1) = 2 e_1$

Тогда $D'(f)(k(e_1)) = {1 \over 2}e_1$, в то время как $k(f(e_1)) = 2 e^1$, то есть диаграмма некоммутативна.

Причина этого совершенно ясна — $k$ определяется совершенно случайно выбранным базисом. Если мы возьмём второе сопряжённое пространство $D(D(V))$, то в случае конечномерного пространства существует изоморфизм $h\colon V \to D(D(V))$ (а именно $h(x)(f) = f(x)$ для любого $x\in V$ и функционала $f\in D(V)$). В данном случае изоморфизм $h$ определяет естественное преобразование тождественного функтора $I$ в функтор $D^2$.

Полиморфные функции

Другой важнейший пример естественных преобразований — полиморфные функции (имеется в виду параметрический полиморфизм). Примером такого преобразования является функция reverse :: forall a . [a] -> [a], переворачивающая список элементов произвольного типа. В данном случае h(T) — это reverse_T :: [T] -> [T]; а функторы F и G — это List.

Сформулировать этот факт можно так: forall f :: a -> b : map f . reverse_a = reverse_b . map f. Это — одна из так называемых «бесплатных теорем».

Естественность всех параметрически полиморфных функций — это следствие теоремы Рейнольдса.

Литература

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии — М.: Мир, 1976.
• Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1966.
• Маклейн С. Категории для работающего математика — М.: Физматлит, 2004.
• Wadler, Philip — Theorems for free!