Логистическое отображение

У этого термина существуют и другие значения, см. Отображение (значения).

Логистическое отображение (также квадратичное отображение или отображение Фейгенбаума) — это полиномиальное отображение, которое описывает, как меняется численность популяции с течением времени. Его часто приводят в пример того, как из очень простых нелинейных уравнений может возникать сложное, хаотическое поведение. Логистическое отображение — дискретный аналог непрерывного логистического уравнения Ферхюльста; оно отражает тот факт, что прирост популяции происходит в дискретные моменты времени.

Математическая формулировка^[1] отображения

$x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,$

где:

$x_n\,$ принимает значения от 0 до 1 и отражает численность популяции в $n\,$-ом году, а $x_0\,$ обозначает начальную численность (в год номер 0);

$r\,$ — положительный параметр, характеризующий скорость размножения (роста) популяции.

Иногда эта формулировка называется отображением Ферхюльста (или Ферхюльста-Пирла), а логистическим отображением называется другая, но эквивалентная по свойствам формула^[2]:

$x_{n+1}=1-\lambda x_n^2$

Это нелинейное отображение описывает два эффекта:

• с одной стороны, когда численность популяции мала, она размножается со скоростью, пропорциональной этой численности;
• с другой стороны, поскольку популяция обитает в среде с ограниченной «ёмкостью», то при росте плотности популяции скорость размножения падает, возрастает конкуренция и смертность.

Одним из недостатков использования отображения в качестве демографической модели является тот факт, что при некоторых начальных значениях и величинах параметров отображение даёт отрицательные значения численности популяции. Этого недостатка лишена дискретная модель Рикера, которая также демонстрирует хаотическое поведение.

Зависимость поведения от параметра $r\,$

При изменении значения параметра $r\,$, в системе наблюдается следующее поведение ^[3].

• Если $r\,$ больше 0 и меньше 1, популяция в конце концов вымрет, независимо от начальных условий.
• Если $r\,$ больше 1 и меньше 2, численность популяции быстро выйдет на стационарное значение $\frac{r-1}{r}$, независимо от начальных условий.
• Если $r\,$ больше 2 и меньше 3, численность популяции точно так же прийдет к тому же стационарному значению $\frac{r-1}{r}$, но вначале будет несколько колебаться вокруг него. Скорость сходимости линейна везде, кроме значения $r\,$=3, при котором она крайне мала, меньше линейной.
• Если $r\,$ больше 3 и меньше $1+\sqrt{6}$ (приблизительно 3.45), численность популяции будет бесконечно колебаться между двумя значениями.
• Если $r\,$ больше 3.45 и меньше 3.54 (приблизительно), то численность популяции будет бесконечно колебаться между четырьмя значениями.
• При значении $r\,$ больше 3.54, численность популяции будет колебаться между 8 значениями, потом 16, 32 и так далее. Длина интервала изменения параметра, при котором наблюдаются колебания между одинаковым количеством значений, уменьшается по мере увеличения $r\,$. Отношение между двумя длинами смежных интервалов стремится к константе Фейгенбаума, равной δ ≈ 4.669... Подобное поведение является типичным примером каскада бифуркаций удвоения периода.
• При значении $r\,$ приблизительно равном 3.57, начинается хаотическое поведение, а каскад удвоений заканчивается. Колебания больше не наблюдаются. Небольшие изменения в начальных условиях приводят к несопоставимым отличиям дальнейшего поведения системы во времени, что является основной характеристикой хаотического поведения.
• Большинство значений, превышающих 3.57 демонстрируют хаотическое поведение, однако существуют узкие, изолированные «окна» значений $r\,$, при которых система ведет себя регулярно, обычно их называют «окнами периодичности». К примеру, начиная со значения $1+\sqrt{8}$ (приблизительно 3.83), существует интервал параметров $r\,$, при котором наблюдаются колебания между тремя значениями, а для больших значений $r\,$ — между 6, потом 12 и т. д. Фактически, в системе можно найти периодические колебания с любым количеством значений. Последовательность смены количества значений удовлетворяет порядку Шарковского.
• При $r\,$ > 4, значения отображения покидают интервал [0,1] и расходятся при любых начальных условиях.

Итог вышеперечисленного приведен на бифуркационной диаграмме. По оси абсцисс отложены значения параметра $r\,$, а по оси ординат — принимаемые на больших временах значения $x\,$.

Бифуркационная диаграмма логистического отображения

Структура бифуркационной диаграммы самоподобна: если увеличить область, к примеру, при значении $r\,$= 3.82 в одном из трех ответвлений, то можно увидеть, что тонкая структура этой области выглядит, как искаженная и размытая версия всей диаграммы. То же самое верно для любой окрестности нехаотических точек. Это пример глубокой связи между хаотическими системами и фракталами.

Аналитическое решение

Для $r=2$ точное аналитическое решение выглядит следующим образом:

$x_n =\frac{1}{2} - \frac{1}{2}(1-2x_0)^{2^n}$

Примечания

1. ↑ Хаос динамический в Физической энциклопедии
2. ↑ В. Н. Думачев, В. А. Родин Эволюция антагонистически-взаимодействующих популяций на базе двумерной модели Ферхюльста–Пирла (рус.). — Math-Net.ru, 2005. — В. 7. — Т. 17. — С. 11-22.
3. ↑ «Java-демонстрация бифуркаций квадратичного отображения» at homepage of Dr Evgeny Demidov.

См. также

• Марковские цепи
• Теория катастроф