Изоморфизм

У этого термина существуют и другие значения, см. Изоморфизм (значения).

Изоморфи́зм (от др.-греч. ἴσος — «равный, одинаковый, подобный» и μορφή — «форма») — это очень общее понятие, которое употребляется в различных разделах математики. В общих чертах его можно описать так: пусть даны два множества с определённой структурой (группы, кольца, линейные пространства и т. п.). Биекция между ними называется изоморфизмом, если она сохраняет эту структуру. Если между такими множествами существует изоморфизм, то они называются изоморфными. Изоморфизм всегда задаёт отношение эквивалентности на классе таких множеств со структурой.

Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными», они называются изоморфными. Классическим примером изоморфных систем могут служить множество $\mathbb R$ всех вещественных чисел с определённой на нём операцией сложения и множество $\mathbb R_+$ положительных вещественных чисел с заданной на нём операцией умножения. Отображение $x\mapsto \exp(x)$ в этом случае является изоморфизмом.

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре изоморфизмом называется биекция, которая является гомоморфизмом. Ниже приводятся несколько примеров.

Группы

Пусть $G$ и $H$ — две группы. Биекция $f:G\to H$ называется изоморфизмом, если для любых $a,\;b\in G$

$f(a) f(b)=f(ab)$.

Если группа является топологической, добавляется условие гомеоморфности соответствующих топологических пространств.^[1]

Поля

Пусть $F_1$ и $F_2$ — поля. Биекция $f:F_1\to F_2$ называется изоморфизмом, если для любых $a,b\in F_1$ выполняется

1. $f(a) + f(b)=f(a + b)$,
2. $f(a) \cdot f(b)= f(a\cdot b)$.

Теория категорий

В теории категорий изоморфизм есть обратимый морфизм, то есть морфизм $\varphi$, для которого существует такой морфизм $\varphi^{-1}$, что произведения $\varphi^{-1}\circ\varphi$ и $\varphi\circ\varphi^{-1}$ — тождественные морфизмы.

Теория операторов/Функциональный анализ

Ограниченный линейный оператор $T$ между нормированными пространствами называется изоморфизмом, если существует положительное вещественное число $c$ такое, что $\lVert Tx\rVert\geqslant c\lVert x\rVert$ для всех векторов $x$. Любой изоморфизм является взаимно-однозначным. Легко видеть, что $T$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда $T$ обратим на своем образе, и обратный оператор ограничен. Говорят, что два нормированных пространства являются изоморфными, если найдется сюръективный изоморфизм из одного из них на другое.

Теория графов

Основная статья: Изоморфизм графов

Граф $G$ называется изоморфным графу $H$, если существует биекция $f$ из множества вершин графа $G$ в множество вершин графа $H$, обладающая следующим свойством: если в графе $G$ есть ребро из вершины $A$ в вершину $B$, то в графе $H$ должно быть ребро из вершины $f(A)$ в вершину $f(B)$ и наоборот — если в графе $H$ есть ребро из вершины $A$ в вершину $B$, то в графе $G$ должно быть ребро из вершины $f^{-1}(A)$ в вершину $f^{-1}(B)$. В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

В теории вычислительной сложности до сих пор является открытым вопрос о сложности задачи изоморфности графов. На данный момент не доказана ни её принадлежность классу $P$, ни её $NP$-полнота.

Связанные определения

Изоморфизм алгебраической системы на себя называется автоморфизмом.

История

Понятие изоморфизма возникло в математике применительно к группам и было естественным образом распространено на более широкий класс математических структур.

Вариации и обобщения

• Некоторая общая теория, уточняющая понятия изоморфизма (и других близких понятий) была предложена группой Бурбаки в их книге "Теория множеств" ( Глава 4. Структуры).

См. также

• Гомоморфизм
• Конгруэнция
• Функция
• Отображение

Примечания

1. ↑ Л.С. Понтрягин Непрерывные группы стр. 392

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. СПб.: Лань, 2004, 624 стр., ISBN 5-8114-0552-9.
• Понтрягин, Лев Семёнович Непрерывные группы. — М.: УРСС, — 2004. — 520с. — ISBN 5-354-00957-X.