Резольвента (гомологическая алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Резольвента.

Резольве́нта — один из важных инструментов гомологической алгебры, в частности служащая для вычисления функторов править] Проективная резольвента

Компле́ксом (X,ε) над R-модулем C называется последовательность

$...~X_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\longrightarrow}X_{n}\stackrel{d_{n}}{\longrightarrow}~...~\stackrel{d_{2}}{\longrightarrow}X_{1}\stackrel{d_{1}}{\longrightarrow}X_{0}\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}C{\longrightarrow}0 ~~~~~ (*)$

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все X свободные, комплекс называется свободным, если проективные — проективным. Если последовательность (*) точна, то есть все гомологии H_n(X)= Ker d_n/Im d_n+1=0 при n>0 и H₀(X)=Ker d₀/Im d₁= X₀/Im d₁=X₀/Ker ε изоморфна C (считая d₀:X₀→0), то данный комплекс называется резольвентой. Так как любой модуль C является фактор-модулем свободного и т. д., то любой модуль C можно включить в некоторую свободную (значит, тем более проективную) резольвенту.

Функторы Extⁿ находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R модули, а ε:X→C — любая проективная резольвента C, то Extⁿ(C,A) изоморфен группе когомологий Hⁿ(X,A)=Hⁿ(Hom_R(X,A))

Функторы Tor_n находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R модули, а ε:X→C — любая проективная резольвента C, то Tor_n(C,A) изоморфен группе гомологий H_n(XÄ_RA)

Инъективная резольвента

Комплексом (Y,ε) под R-модулем A называется последовательность:

$0{\longrightarrow}A\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}Y^{0}\stackrel{\delta^{1}}{\longrightarrow}Y^{1}\stackrel{\delta^{2}}{\longrightarrow}~...~\stackrel{\delta^{n}}{\longrightarrow}Y^{n}\stackrel{\delta^{n+1}}{\longrightarrow}Y^{n+1}{\longrightarrow}~...~~~~~ (**)$

такая, что произведение двух последовательных гомоморфизмов равно 0. Если все Y инъективные, комплекс называется инъективным. Если последовательность (**) точна, то есть все когомологии Hⁿ(Y)= Ker δⁿ⁺¹/Im δⁿ=0 при n>0 и H⁰(Y)= Ker δ¹/Im δ⁰= Ker δ¹=Im ε изоморфна A (считая δ⁰:0→Y⁰), то данный комплекс называется корезольвентой (обычно в этом случае «ко» опускается и говорится об инъективной резольвенте). Так как любой модуль A является подмодулем инъективного и т. д., то любой модуль A можно включить в некоторую инъективную резольвенту.

Функторы Extⁿ находятся согласно следующей теореме: Если C и A — R модули, а ε:A→Y — любая инъективная резольвента A, то Extⁿ(C,A) изоморфен группе когомологий Hⁿ(Hom_R(C,Y)).

Литература

• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра -М: ИЛ, 1960
• Маклейн С. Гомология. -М: Мир, 1966