Задача о сделках

Задача о сделках (или задача о переговорах) — игра двух лиц, в которой моделируется ситуация двусторонних переговоров. В ней участвуют два игрока, принимающие решение о распределении некоторого блага (часто в денежной форме). Если игроки договариваются о распределении, они получают требуемую часть. В противном случае никто ничего не получает.

Игра была впервые предложена в 1950 г. Дж. Ф. Нэшем в работе «The Bargaining Problem». Там же был сформулирован один из подходов к решению этой задачи, получивший впоследствии название «решения Нэша».

Формально задача о сделках может быть записана в виде четверки $\{X, d, u_1, u_2\}$, где X — множество альтернатив, из которых выбирают участники; $u_i$ — функция полезности i-го участника, определенная на множестве X; $d \in X$ — точка разногласия (исход, который получат участники, если переговоры не дадут результата).

Решение Нэша

Решение Нэша (в литературе часто используется аббревиатура NBS, от англ. Nash bargaining solution) задачи о сделках представляет собой аксиоматический принцип оптимальности, удовлетворяющий следующим аксиомам:

1) Инвариантность к аффинным преобразованиям функций полезности участников;

2) Эффективность по Парето;

3) Независимость от посторонних альтернатив: если из множества X убрать заведомо неоптимальные альтернативы, то решение задачи не изменится;

4) Симметричность: если игроки одинаковы, то есть $u_1(.) = u_2(.)$, при разногласии получают одинаковую полезность $u_1(d) = u_2(d)$ и множество Х — симметрично, то есть для любой альтернативы $x' \in X$ найдется альтернатива $x'' \in X$, такая, что $u_1(x') = u_2(x''), u_1(x'') = u_2(x')$, то $u_1(x) = u_2(x)$.

Теорема. Решением задачи о переговорах $\{X, d, u_1, u_2\}$, удовлетворяющим аксиомам (1) — (4) является точка максимума на множестве X функции

$\Phi(x) = (u_1(x) - u_1(d))(u_2(x) - u_2(d))$.

Литература

• Nash J. The Bargaining Problem // Econometrica. — 1950. — Vol. 18. — P. 155—162.
• Binmore K., Rubinstein A., Wolinsky A. The Nash Bargaining Solution in Economic Modelling // RAND Journal of Economics. — 1986. — Vol. 17. — P. 176—188.
• Оуэн Г. Теория игр. — М.: УРСС, 2004.