Решение систем линейных алгебраических уравнений

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:
$\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& 0 \\ \ldots & & \\ a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& 0 \end{array}\right.\iff A_{m\times n}\vec{x}=\vec{0},\quad A_{m\times n}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right)\qquad (1)$

Нулевое решение $\vec{x}=(0,\ldots,0)\!$ системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Теорема (о линейном решении однородных систем). Пусть $\vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^k\!$ — решения однородной системы (1), $c_1,\ldots,c_k\!$ — произвольные константы. Тогда $\vec{x}^*=c_1\vec{x}^1+\ldots+c_k\vec{x}^k\!$ также является решением рассматриваемой системы.

Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:

Теорема (о структуре общего решения). Пусть $r=\mathrm{rang}A\!$, тогда: если $r=n\!$, где $n\!$ — число переменных системы, то существует только тривиальное решение; если $r<n\!$, то существует $(n-r)\!$ линейно независимых решений рассматриваемой системы: $\vec{x}^1,\ldots,\vec{x}^{n-r}\!$, причём её общее решение имеет вид: $\vec{x}_{OO}=c_1\vec{x}^1+\ldots+c_{n-r}\vec{x}^{n-r}\!$, где $c_1,\ldots,c_{n-r}\!$ — некоторые константы.

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов $\vec{y}^1,\ldots,\vec{y}^k\!$ размера $n\!$ называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

• $\vec{y}^1,\ldots,\vec{y}^k\!$ — решения системы (1);
• $\vec{y}^1,\ldots,\vec{y}^k\!$ линейно независимы;
• $\forall \vec{x}^*:\;A\vec{x}^*=\vec{0} \qquad \exist! c_1,\ldots,c_k\in\mathbb{R}:\;\vec{x}^*=c_1\vec{y}^1+\ldots+c_k\vec{y}^k\!$.

Теорема (о ФСР). Пусть ранг основной матрицы $\mathrm{rang}A=r<n\!$, где $n\!$ — число переменных системы (1), тогда: ФСР (1) существует: $\vec{y}^1,\ldots,\vec{y}^k\!$; она состоит из $k=(n-\mathrm{rang} A_{m\times n})\!$ векторов; общее решение системы имеет вид $\vec{x}_{OO}=c_1\vec{y}^1+\ldots+c_{n-r}\vec{y}^{n-r}$. Замечание: Если $n=r\!$, то ФСР не существует.

Пример

Решим систему
$\left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &+& x_4 &=& 0 \\ 3x_1 &+& 2x_2 &+& x_3 &+& 3x_4 &=& 0 \\ 2x_1 &+& \frac{3}{2} x_2 &+& \frac{3}{2} x_3 &+& 2x_4 &=& 0 \end{array} \right.$

Перепишем её в матричном виде:

$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 3\\ 2 &\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 2 \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right)$

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 3\\ 2 &\frac{3}{2} & \frac{3}{2} & 2 \end{array} \right)\sim\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & -1 & -5 & 0\\ 0 &-\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & 0 \end{array} \right)\sim \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует $(n-r)=2\!$ линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

$\left\{\begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &+& x_4 &=& 0\\ & & x_2 &+& 5x_3 & & &=&0 \end{array} \right.$

Возьмём $x_1\!$ и $x_2\!$ в качестве главных переменных. Тогда:

$\left\{\begin{array}{ccccc} x_1 &=& 3x_3 &-& x_4 \\ x_2 &=& -5x_3 & & \end{array} \right.$

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: $x_3\!$ и $x_4\!$.

$\begin{array}{c|c|c|c|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline \vec{x}^1 & 3 & -5 & 1 & 0\\ \hline \vec{x}^2 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}$

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

$\vec{x}_{OO}=c_1\left(\begin{array}{c}3\\-5\\1\\0 \end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\end{array}\right)\!$,

а вектора $\vec{x}^1=\left(\begin{array}{c}3\\-5\\1\\0 \end{array}\right),\;\vec{x}^2=\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\end{array}\right)\!$ составляют фундаментальную систему решений.

Неоднородные системы

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:
$\left\{\begin{array}{ccc} a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n &=& b_1 \\ \ldots & & \\ a_{m1}x_1+\ldots+a_{mn}x_n &=& b_m \end{array}\right.\iff A_{m\times n}\vec{x}=\vec{b},\quad A_{m\times n}=\left(\begin{array}{ccc}a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \ldots & & \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right),\quad \vec{b}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array}\right)\qquad (2)$

$\tilde{A}_{m\times (n+1)}=\left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & \ldots & a_{1n} & b_1 \\ \ldots & & & \vdots \\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} & b_m \end{array}\right)$ — её расширенная матрица.

Теорема (об общем решении неоднородных систем). Пусть $r=\mathrm{rang}A=\mathrm{rang} \tilde{A}\!$ (т.е. система (2) совместна), тогда: если $r=n\!$, где $n\!$ — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно; если $r<n\!$, то общее решение системы (2) имеет вид $\vec{x}_{OH}=\vec{x}_{OO}+\vec{x}_{4H}\!$, где $\vec{x}_{OO}\!$ — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, $\vec{x}_{4H}\!$ — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

Пример

Решим систему
$\left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& x_4 &=& 1 \\ & & & & 3x_3 &+& x_4 &=& 4 \\ & & & & x_3 &+& 2x_4 &=& 3 \end{array} \right.$

Преобразуем её к
$\left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& x_4 &=& 1 \\ & & & & x_3 &+& 2x_4 &=& 3 \\ & & & & & & x_4 &=& 1 \end{array} \right.$

Тогда переменные $x_4=1\!$ и $x_3=1\!$ обязательно будут главными, возьмём также $x_2\!$ в качестве главной.

Заметим, что $\vec{x}=\left(1,1,1,1\right)\!$ является частным решением.

Составим однородную систему:
$\left\{ \begin{array}{ccccccccc} x_1 &+& 2x_2 &-& 3x_3 &+& x_4 &=& 0 \\ & & & & x_3 &+& 2x_4 &=& 0 \\ & & & & & & x_4 &=& 0 \end{array} \right.$

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной $x_1\!$, получим ФСР однородной системы:

$\begin{array}{c|c|c|c|c} & x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ \hline \vec{x} & 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \end{array}$

Общее решение системы может быть записано так:

$\vec{x}_{OH}=c\left(\begin{array}{c}1\\-\frac{1}{2}\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}\right)\!$

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

См. также

• Линейная независимость
• Теорема Кронекера-Капелли
• Матричный метод
• Метод Жордана-Гаусса
• Метод Крамера
• Фундаментальная матрица