Методы интегрирования

Методы интегрирования

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — дело гораздо более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Содержание

Непосредственное интегрирование

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. См. Таблица интегралов.

Подведение под знак дифференциала

Данный метод эквивалентен методу замены переменной (см. далее):

\int f(x)dx = \int f(u(x)) \frac{d(u(x))}{d(u(x))/dx} = \int f(u(x)) \frac{d(u(x))}{u'_x}.

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл \int F(x)dx. Сделаем подстановку ~x=\varphi(t), где ~\varphi(t) — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда ~dx = \varphi'(t)\cdot dt и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

\int F(x)dx = \int F(\varphi (t)) \cdot \varphi' (t) dt.

Интегрирование выражений вида \int \sin^n x \cos^m x\,dx

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.

Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.

Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Примеры

Вычислить: \int \sin^2 x \cos x\,dx.

Пусть \sin x=t\,, тогда \cos x\,dx=dt и  \int \sin^2 x \cos x\,dx =\int t^2 \,dt =\frac{t^3}{3} + C =\frac{\sin^3 x}{3} + C.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du.

Или:

\int u \cdot v' \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u' \cdot dx.


В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

\int P_{n+1}(x) e^x\,dx,

где P_{n+1}(x) — многочлен (n+1)-ой степени.

Интегрирование рациональных дробей

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь \tfrac{P(x)}{Q(x)}, знаменатель которой разложен на множители

Q(x)= \prod^{n}_{i=1} (x-x_i)^{k_i} \cdot \prod^{m}_{j=1} (x^2+p_jx+q_j)^{s_j}

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

\frac{P(x)}{Q(x)}= \sum^{n}_{i=1} {\sum^{k_n}_{j=1} {\frac {A_{ij}} {(x-x_i)^j}} }+ \sum^{m}_{l=1} {\sum^{s_m}_{t=1} {\frac {\alpha _{lt}+\beta _{lt}x} {(x^2+p_lx+q_l)^t}} }

где A_{ij},\alpha _{lt}, \beta _{lt} — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Примеры

Вычислить: \int \frac{2x+3}{x^2-9}\,dx.

Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

\frac{2x+3}{x^2-9} = \frac{2x+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{\alpha}{(x-3)} + \frac{\beta}{(x+3)}

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:


\alpha(x+3)+\beta(x-3)=2x+3


(\alpha+\beta)x+3\alpha-3\beta=2x+3

Следовательно 
\begin{cases}
\alpha+\beta=2\\
3\alpha-3\beta=3\\
\end{cases},
\begin{cases}
\alpha=\frac{3}{2}\\
\beta=\frac{1}{2}\\
\end{cases}

Тогда \frac{2x+3}{x^2-9} = \frac{\frac{3}{2}}{x-3}+\frac{\frac{1}{2}}{x+3}

Теперь легко вычислить исходный интеграл \int \frac{2x+3}{x^2-9}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{dx}{x-3} + \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+3} = \frac{3}{2}\ln |x-3| + \frac{1}{2}\ln |x+3| + C = \frac{1}{2}\ln |(x-3)^3(x+3)| + C

См. также

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Полезное


Смотреть что такое "Методы интегрирования" в других словарях:

  • Методы Рунге-Кутты — Методы Рунге   Кутта важное семейство численных алгоритмов решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Данные итеративные методы явного и неявного приближенного вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К.… …   Википедия

  • Методы экологического мониторинга — В этой статье отсутствует вступление. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи. В зависимости от точности результатов, которые необходимо получить при проведении мониторинга по тому или иному компоненту, явлению, пр …   Википедия

  • ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ — методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… …   Математическая энциклопедия

  • ГОСТ Р ИСО 13695-2010: Оптика и фотоника. Лазеры и лазерные установки (системы). Методы измерений спектральных характеристик лазеров — Терминология ГОСТ Р ИСО 13695 2010: Оптика и фотоника. Лазеры и лазерные установки (системы). Методы измерений спектральных характеристик лазеров оригинал документа: 3.19 дисперсия Аллана для непрерывного лазерного излучения , : Дисперсия двух… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ГОСТ Р 52862-2007: Методы испытаний на стойкость к механическим внешним воздействующим факторам машин, приборов и других технических изделий. Испытания на воздействие акустического шума (вибрация, акустическая составляющая) — Терминология ГОСТ Р 52862 2007: Методы испытаний на стойкость к механическим внешним воздействующим факторам машин, приборов и других технических изделий. Испытания на воздействие акустического шума (вибрация, акустическая составляющая) оригинал… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Графические вычисления —         методы получения численных решений различных задач путём графических построений. Г. в. (графическое умножение, графическое решение уравнений, графическое интегрирование и т. д.) представляют систему построений, повторяющих или заменяющих… …   Большая советская энциклопедия

  • Неопределённый интеграл — для функции   это совокупность всех первообразных данной функции. Если функция определена и непрерывна на промежутке и   её первообразная, то есть при , то …   Википедия

  • Интеграл — Определённый интеграл как площадь фигуры У этого термина существуют и другие значения, см. Интеграл (значения). Интеграл функции  …   Википедия

  • Салтыков, Николай Николаевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Салтыков. Николай Николаевич Салтыков Дата рождения …   Википедия

  • Германия — (лат. Germania, от Германцы, нем. Deutschland, буквально страна немцев, от Deutsche немец и Land страна)         государство в Европе (со столицей в г. Берлин), существовавшее до конца второй мировой войны 1939 45.          I. Исторический очерк …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»