Трапецеидальный синус

Трапецеидальный и тригонометрический синусы

Трапецеидальный синус — кусочно-гладкая периодическая с периодом 2π функция действительного переменного, имеющая широкое применение в практических приложениях, в особенности в электро- и радиотехнике. Трапецеидальный синус задается на интервале $[0;2\pi]$ следующими формулами:

$\sin_{tr} x =\frac {4x}{\pi},\quad 0 \le x \le \frac {\pi}{4}$;

$\sin_{tr} x =1,\quad \frac {\pi}{4} \le x \le \frac {3\pi}{4}$

$\sin_{tr} x=\frac {4(\pi-x)}{\pi},\quad \frac {3\pi}{4} \le x \le \frac {5\pi}{4}$

$\sin_{tr} x=-1, \quad \frac {5\pi}{4} \le x \le \frac {7\pi}{4}$

$\sin_{tr} x=\frac {4(x-2\pi)}{\pi}, \quad \frac {7\pi}{4} \le x \le 2\pi$

Разложение в ряд Фурье

Как любая кусочно-гладкая периодическая функция действительного аргумента, трапецеидальный синус может быть разложен в ряд Фурье. Из-за того, что трапецеидальный синус есть нечётная функция, его разложение в тригонометрический ряд Фурье не содержит членов с косинусом.

Кроме того, оказывается, что трапецеидальный синус не содержит в своем разложении чётных гармоник. Первые несколько коэффициентов разложения имеют вид:

$b_1=\frac {8\sqrt2}{\pi^2}, b_3=\frac {8\sqrt2}{9\pi^2}, b_5=-\frac {8\sqrt2}{25\pi^2}, b_7=-\frac {8\sqrt2}{49\pi^2}$

Сходимость разложения трапецеидального синуса в ряд Фурье иллюстрируется графиком:

Применение

Трапецеидальный синус широко применяется в электротехнике. Это обусловлено тем, что достаточно просто получить переменное напряжение такой формы из постоянного при большой мощности нагрузки. В частности, в современных ИБП и инверторах выходное напряжение чаще всего имеет форму трапецеидального синуса. ^[1] Также трапецеидальный синус применяется для анализа некоторых задач теории колебаний, где использование обычного (тригонометрического) синуса приводит к сильному усложнению конечных результатов. ^[2]

Ссылки

1. ↑ http://www.web-logic.ru/eli-ms.htm Трансформаторы – виды и различия
2. ↑ Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Наука, 1984г.