Многочлен Бернштейна

В вычислительной математике многочлены Бернштейна — это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна. ^{[1] [2]}

Устойчивым алгоритмом вычисления многочленов в форме Бернштейна является алгоритм де Кастельжо.

Многочлены в форме Бернштейна были описаны Сергеем Натановичем Бернштейном в 1912 году и использованы им в конструктивном доказательстве аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. С развитием компьютерной графики, полиномы Бернштейна, заключённые в промежуток x ∈ [0, 1], стали играть важную роль при построении кривых Безье.

Определение

(n + 1) базисных многочленов Бернштейна степени n находятся по формуле

$b_{k,n}(x) = \binom{n}{k} x^{k} (1-x)^{n-k}, \qquad k=0,\ldots,n.$

где $\binom{n}{k}$ — биномиальный коэффициент.

Базисные многочлены Бернштейна степени n образуют базис для линейного пространства $\Pi_n$ многочленов степени n.

Линейная комбинация базисных полиномов Бернштейна

$B_n(f; x) = B_n(x) = \sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) b_{k,n}(x)$

называется многочленом (полиномом) Бернштейна или многочленом в форме Бернштейна степени n. Коэффициенты $f\left(\frac{k}{n}\right)$ называются коэффициентами Бернштейна или коэффициентами Безье.

Примеры

Вот некоторые базисные полиномы Бернштейна:

$b_{0,0}(x) = 1 \,$

$b_{0,1}(x) = 1-x \,$

$b_{1,1}(x) = x \,$

$b_{0,2}(x) = (1-x)^2 \,$

$b_{1,2}(x) = 2x(1-x) \,$

$b_{2,2}(x) = x^2 \ .$

Свойства

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Леммы о моментах

$\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = 1$ для любых n и x, так как $\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) = (x + 1-x)^{n} = 1^{n}$

$\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n) = 0$ для любых n и x

$\sum_{k=0}^{n} b_{k,n}(x) (x - k/n)^2 = x(1-x)/n$ для любых n и x

Аппроксимация непрерывных функций

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

См. также

• Кривая Безье
• Интерполяция алгебраическими многочленами
• Формулы Ньютона
• Многочлен Лагранжа

Примечания

1. ↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1952. — Т. 1. — С. 105-106.
2. ↑ Бернштейн С. Н. Собрание сочинений. — М., 1954. — Т. 3. — С. 310-348.