Модель Блэка-Скоулза

Модель ценообразования опционов Блэка–Шоулса (англ. Black–Scholes Option Pricing Model, OPM) — это модель, которая определяет теоретическую цену на европейские опционы, подразумевающая, что если базовый актив торгуется на рынке, то цена опциона на него неявным образом уже устанавливается самим рынком. Данная модель получила широкое распространение на практике и, помимо всего прочего, может также использоваться для оценки всех производных бумаг, включая варранты, конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансово зависимых фирм.

История

Формула модели оценки опционов впервые была выведена Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 году в статье «Оценка опционов и коммерческих облигаций» (The Pricing of Options and Corporate Liabilities). Их исследования основывались на предыдущих работах Джека Трейнора, Пола Сэмюэлсона, Джеймса Бонесса, Sheen T. Kassouf и Эдварда Торпа и разрабатывались в период быстрого роста опционной торговли.

Шесть допущений теории

Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз сделали следующие предположения:

• По базисному активу опциона call дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона.
• Нет транзакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акции или опциона.
• Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона.
• Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены.
• Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавец получит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценную бумагу по сегодняшней цене.
• Торговля ценными бумагами ведется непрерывно, и цена акции движется непрерывно и случайным образом.

Вывод модели основывается на концепции безрискового хеджирования. Покупая акции и одновременно продавая опционы call на эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот.

Безрисковая хеджированная позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможность извлечения арбитражной прибыли и инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню, который определяется моделью.

Формулы

Цена (европейского) опциона call:

$c(S,t) = SN(d_1) - Ke^{-r(T - t)}N(d_2), \,$ где

$d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}},$

$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}.$

Цена (европейского) опциона put:

$p(S,t) = Ke^{-r(T-t)}N(-d_2) - SN(-d_1). \,$

Обозначения:

• текущая стоимость опциона call в момент t до истечения срока опциона;
• текущая цена базисной акции;
• вероятность того, что отклонение будет меньше в условиях стандартного нормального распределения (таким образом, и ограничивают область значений для функции стандартного нормального распределения);
• цена исполнения опциона;
• безрисковая процентная ставка;
• время до истечения срока опциона (период опциона);
• вариация доходности базисной акции.

«Греки»

«Греки» в соответствии с Блэком и Шоулзом представлены в явном виде следующим образом:

	Что	Опционы call	Опционы put
дельта	$\frac{\partial c}{\partial S}$	$N(d_1) \,$	$- N( - d_1) = N(d_1)-1\,$
гамма	$\frac{\partial^2 c}{\partial S^2}$	$\frac{N'(d_1)}{S\sigma\sqrt{T-t}} \,$
вега[1]	$\frac{\partial c}{\partial \sigma}$	$S N'(d_1) \sqrt{T-t} \,$
тета	$-\frac{\partial c}{\partial T}$	$- \frac{S N'(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T-t}} - rKe^{-r(T-t)}N(d_2) \,$	$- \frac{S N'(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T-t}} + rKe^{-r(T-t)}N(-d_2) \,$
ро	$\frac{\partial c}{\partial r}$	$K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_2)\,$	$-K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_2)\,$

Примечательно, что формулы гамма и вега одинаковы для опционов пут и колл, что является логическим выводом теории паритета опционов пут и колл.

Примечания

1. ↑ Не является греческой буквой.