Теорема Арцела

Теорема Арцела

Теорема Арцела

Рассмотрим M - подмножество класса функций, непрерывных на отрезке [a, b].

Тогда то, что M - предкомпакт, равносильно тому, что M - ограниченно и равностепенно непрерывно.

Доказательство

=>

  • Пусть M - предкомпакт.
  • Тогда M - ограниченное множество, то есть любая функция f из множества M имеет ограниченную константой Const норму. Следовательно, значения f в любой точке промежутка [a,b] ограничены той же константой Const.
  • Существует конечная ε-сеть {φ1, ..., φN}, такая что для любой функции f из M найдётся элемент сети φj, отстоящий от f не более, чем на ε в любой точке промежутка [a, b]. (1)
  • Так же при |x' - x"| < δ(ε) значения φj так же находятся недалеко друг от друга:
|φj(x') - φj(x")| < ε (2)
  • Наконец, оценим разность между двумя значениями f в точках x' и x":
|f(x') - f(x")| <= |f(x') - φj(x')| + |φj(x') - φj(x")| + |φj(x") - f(x")|

Это расстояние по доказанным выше неравенствам (1) и (2) не превосходит 3ε.

  • Таким образом значения f сколь угодно близки при достаточной близости аргументов и, следовательно, M - равностепенно непрерывное множество.

<=

  • M - ограниченное и равностепенно непрерывное подмножество класса C([a, b]) непрерывных на отрезке [a, b] функций. Докажем, что M - предкомпакт.
  • Рассмотрим функцию f из множества M. Построим n-звенную ломаную Υn(x). Тогда для любого ε существует такое n, что
|f(x) - Υn(x)| < ε (3)
Что верно для любой функции f из M, так как M - равностепенно непрерывно.
  • Представим ломаную Υn(x) как вектор {υ(x0), υ(x1), ..., υ(xn)} при фиксированном n. Набор таких векторов предкомпактен.
  • Для такого набора существует конечная ε-сеть {φj} (точнее, из векторов, сопоставленных φj)
  • Эта ε-сеть есть 2ε-сеть для функций f:
|f - φj| <= |f - Υn| + |Υn - φj| <= 2ε
  • Следовательно, эта сеть есть 2ε-сеть для M

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Арцела" в других словарях:

  • Теорема Арцела-Асколи — …   Википедия

  • Теорема Асколи — Арцела — Теорема Арцела  утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство  пространство непрерывных функций на отрезке… …   Википедия

  • Теорема Асколи — Теорема Арцела  утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство  пространство непрерывных функций на отрезке… …   Википедия

  • Арцела, Чезаре — Чезаре Арцела итал. Cesare Arzelà …   Википедия

  • Теорема Монтеля о компактном семействе функций — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Монтеля. Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности: Пусть ― бесконечное семейство голоморфных функций в области комплексной плоскости… …   Википедия

  • Лемма Арцела — Лемма Арцела  свойство компактного множества. На примере отрезка формулируется так: Пусть в конечном промежутке содержатся системы промежутков, каждая из которых состоит из конечного числа не налегающих друг на друга замкнутых промежутков.… …   Википедия

  • АРЦЕЛА - АСКОЛИ ТЕОРЕМА — название ряда теорем, указывающих условия дл я того, чтобы предел последовательности непрерывных функций был функцией непрерывной (одно из таких условий квазиравномерная сходимость последовательности). Лит.:[1] Arzе1а С., Mem. Accad. sci Bologna …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Асколи-Арцела — …   Википедия

  • Теорема Асколи - Арцела — …   Википедия

  • РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД — функциональный ряд (1) с (вообще говоря) комплексными членами, сходящийся на множестве X, и такой, что для любого e>0 существует номер ne , что для всех n>ne и всех выполняется неравенство где и Иными словами, последовательность частичных… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»