Преобразование Лежандра

Преобразование Лежандра для заданной функции F(x) — это построение функции F*(p), двойственной ей по Юнгу. Если исходная функция была определена на векторном пространстве V, её преобразованием Лежандра будет функция, определённая на сопряжённом пространстве V*, т.е. на пространстве линейных функций на пространстве V.

Определение

Аналитическое определение

Преобразованием Лежандра функции f, заданной на подмножестве M векторного пространства V, называется функция f*, определенная на сопряжённом пространстве V* по формуле

$f^*(p)=\sup_{x\in V} (\left\langle p, x \right\rangle - f(x)),~~ x\in M$,

где $\left\langle p, x \right\rangle$ — значение линейного функционала p на векторе x. В случае гильбертова пространства это будет просто скалярное произведение. В частном случае дифференцируемой функции, заданной в $\mathcal R^n$, переход к сопряженной функции осуществляется по формулам

$f^*(\vec p) = \vec p \vec x - f(\vec x),~~~ \vec p = \frac{\partial f}{\partial \vec x} = \operatorname{grad}f$,

причем x нужно выразить через p из второго уравнения.

Геометрический смысл

Для выпуклой функции F(x) её надграфик epi f = {y | y >= F(x)} есть выпуклое замкнутое множество, границей которого является график функции F(x). Множество опорных гиперплоскостей к надграфику функции F(x) есть естественная область определения её преобразованием Лежандра F*(p). Если p - опорная гиперплоскость (в нашем случае касательная) к надграфику, она пересекает ось y в некоторой единственной точке. Её y-координата, взятая со знаком минус, и есть значение функции F*(p).

Соответствие x -> p определено однозначно в области, где функция F(x) дифференцируема (тогда p - есть касательная гиперплоскость к графику F(x) в точке x). Обратное соответствие p -> x определено однозначно тогда и только тогда, когда функция F(x) строго выпукла (в этом случае x - единственная точка касания опорной гиперплоскости p с графиком функции F(x)).

Если функция F(x) дифференцируема и строго выпукла, определено соответствие p(x) <--> dF(x), сопоставляющее гиперплоскости p дифференциал функции F(x) в точке х. Это соответствие взаимно однозначно и позволяет перенести область определения функции F*(p) в пространство ковекторов V* (которыми являются дифференциалы функции F(x)).

В общем случае произвольной невыпуклой функции геометрический смысл преобразования Лежандра сохраняется. В силу опорного принципа, выпуклая оболочка надграфика f является пересечением полупространств, задаваемых всеми опорными гиперплоскостями, поэтому для преобразования Лежандра существенна лишь выпуклая оболочка надграфика f. Таким образом, случай произвольной функции легко сводится к случаю выпуклой. Функция даже не обязана быть дифференцируемой или непрерывной, её преобразование Лежандра все равно будет выпуклой полунепрерывной снизу функцией.

Свойства

1. Теорема Фенхеля — Моро: для выпуклой полунепрерывной снизу собственной функции f, заданной на рефлексивном пространстве, преобразование Лежандра является инволютивным, т.е. $f^{**}(x) = f(x)$. Легко убедиться, что если выпуклым замыканием функции f является функция g, то f*=g*. Отсюда следует, что для невыпуклой функции, выпуклое замыкание которой — собственная функция,

   $f^{**}(x)=\overline{\operatorname{co}}f(x)$,
   где $\overline{\operatorname{co}}f$ — выпуклое замыкание функции f.

2. Непосредственно из аналитического определения следует неравенство Юнга — Фенхеля:

   $f(x) + f^*(p)\ge \left\langle p, x \right\rangle$, причём равенство достигается только если p = F'(x).

   (Часто неравенством Юнга называют частный случай этого неравенства для функции F(x)=$x^a/a$, a>1).

3. В вариационном исчислении (и основанной на нём лагранжевой механике) преобразование Лежандра обычно применяется к лагранжианам действия $L(t,x,\dot x)$ по переменной $\dot x$. Образом лагранжиана становится гамильтониан действия H(t,x,p), а уравнения Эйлера-Лагранжа для оптимальных траекторий преобразуются в уравнения Гамильтона.

Литература

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. "Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа", — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.