Странное число

В математике странное число — это натуральное число, которое является избыточным, но не является полусовершенным. ^[1] Другими словами, сумма собственных делителей (делители, включая 1, но не включая себя) числа больше самого числа, но сложением подмножества делителей нельзя получить само число.

Самое маленькое странное число — 70. Его делители: 1, 2, 5, 7, 10, 14, и 35; Их сумма 74, но сложением подмножества делителей нельзя получить 70. Число 12, к примеру, избыточное, но не странное, потому что делители 12 — это 1, 2, 3, 4, и 6, сумма которых равна 16; но 2+4+6 = 12.

Первые несколько странных чисел это: 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, … последовательность A006037 в OEIS. Таким образом показано, что существует бесконечное количество странных чисел, и что последовательность странных чисел имеет положительную асимптотическую плотность. ^[2]

Неизвестно, существуют ли нечётные странные числа; если они существуют, то должны быть больше 2³² ≈ 4·10⁹.^[3]

Станли Кравиц показал, что если $k$ — целое положительное, $Q$ — простое, и

$R=\frac{2^kQ-(Q+1)}{(Q+1)-2^k}$ — простое, тогда

$n=2^{k-1}QR$ — странное число.^[4]

С помощью этой формулы он смог найти большое странное число

$n=2^{56}(2^{61}-1)153722867280912929\approx2\cdot10^{52}$.

Ссылки

1. ↑ Benkoski, Stan (Aug.-Sep. 1972). «E2308 (in Problems and Solutions)». The American Mathematical Monthly 79 (7): 774.
2. ↑ Benkoski, Stan; Paul Erdős (April 1974). «On Weird and Pseudoperfect Numbers». Mathematics of Computation 28 (126): 617-623.
3. ↑ CN Friedman, "Sums of Divisors and Egyptian Fractions", Journal of Number Theory (1993). The result is attributed to "M. Mossinghoff at University of Texas — Austin".
4. ↑ Kravitz, Stanley (1976). «A search for large weird numbers». Journal of Recreational Mathematics (Baywood Publishing) 9 (2): 82-85.