Возвратное уравнение четвёртой степени

Уравнение вида: a_nxⁿ + a_{n − 1}x^{n − 1} + ... + a₁x + a₀ = 0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, то есть если a_{n − k} = a_k, при k = 0, 1, …, n.

Уравнение четвёртой степени

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида $~ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$, где a, b и c — некоторые числа, причём $a \neq 0$.

Алгоритм решения подобных уравнений:

• разделить левую и правую части уравнения на x². При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения при $a \neq 0$;
• группировкой привести полученное уравнение к виду $a\left(x^2 + {1 \over x^2}\right) + b\left(x + {1 \over x}\right) + c =0$;
• ввести новую переменную $t = {x + {1 \over x}}$, тогда выполнено $t^2 = {x^2 + 2 + {1 \over {x^2}}}$, то есть ${x^2 + {1 \over {x^2}}} = {t^2 - 2}$;
• в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at² + bt + c − 2a = 0;
• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Если уравнение является разрешимым, то для возвратного уравнения четвертой степени после преобразований получаем:

$x_{1,2} = {2a \over {-b \pm D - 2a}} ,\; D = \sqrt{b^2 - 4ac}.$

Модифицированное и обобщенное уравнения четвёртой степени

Модифицированное возвратное уравнение четвёртой степени $~ax^4 + bx^3 + cx^2 - bx + a = 0$ может быть сведено к квадратному уравнению относительно переменной t, если положить $t=x-\frac{1}{x}$.

Обобщенное возвратное уравнение четвёртой степени сводится к квадратному уравнению подстановкой $t=bx+\frac{d}{x}$. Среди всех уравнений четвёртой степени $~ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ эти уравнения выделяются тем, что для их коэффициентов справедливо соотношение

$\frac{e}{a}=\left(\frac{d}{b}\right)^2.$

Уравнения степени пять и более

Для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:

• Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой

$x + {1 \over x} = t$.

• Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x = −1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.

См. также

• Биквадратное уравнение