Параллельность плоскостей

Классическое определение

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Свойства и признаки

• Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны
• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
• Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
• Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
• Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Аналитическое определение

Если плоскости

$~A_{1}x+B_{1}y+C_1z+D_1 = 0$ и $~A_{2}x+B_{2}y+C_2z+D_2 = 0$

параллельны, то нормальные векторы $~N_1(A_1,B_1,C_1)$ и $~N_2(A_2,B_2,C_2)$ коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

$\frac{A_2}{A_1} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1}$^[1] есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения.

Пример 1

Плоскости $~2x-3y-4z+11 = 0$ и $~-4x+6y+8z+36=0$ параллельны, так как $\frac{-4}{2} = \frac{6}{-3} = \frac{8}{-4}$

Пример 2

Плоскости $~2x-3z-12 = 0 (A_1 = 2, B_1 = 0, C_1 = -3)$ и $~4x+4y-6z+7=0 (A_2 = 4, B_2 = 4, C_2 = -6)$ непараллельны так как $B_1 = 0$, а $B_2 \ne 0$
Замечание. Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
$\frac{A_2}{A_1} = \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1} = \frac{D_2}{D_1},$^[2] то плоскости совпадают. Так уравнения $~3x+7y+5z+4=0$ и $~6x+14y+10z+8=0$ представляют одну и ту же плоскость.

Примечания

1. ↑ при $A_1,B_1,C_1 \neq 0$. Если $A_1 = 0$, то $A_2 = 0, \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1}$. Аналогично при $B_1 = 0$ или $C_1 = 0$.
2. ↑ при $A_1,B_1,C_1,D_1 \neq 0$. Если $A_1 = 0$, то $A_2 = 0, \frac{B_2}{B_1} = \frac{C_2}{C_1}=\frac{D_2}{D_1}$. Аналогично при $B_1 = 0, C_1 = 0$ или $D_1=0$.