Теорема Вейерштрасса о целых функциях

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Вейерштрасса.

Теорема

Любая целая функция $f$, имеющая не более чем счётное количество нулей $\{0\}\cup\{a_n\}\to\infty$, где точка 0 — нуль порядка $\lambda$, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

$f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_1^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right)$,

где $h$ — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа $p_n$ подобраны таким образом, чтобы ряд

$\sum_1^\infty \frac{1}{p_n+1}\left|\frac{z}{a_n}\right|^{p_n+1}$

сходился при всех $z$. При $p_n = 0$ соответственная множителю номер n экспонента опускается (считается равной $\exp(0) = 1$).

На случай кратных корней эта теорема обобщается следующим образом. Самым общим выражением для целой функции $f$, которая в заданных точках точках $z=a_k$ ($a_k\to\infty$) имеет нули кратности $n_k$, является произведение

$f(z)=z^{n_0} e^{h(z)}\prod_{k=1}^\infty\left\{\left(1-\frac{z}{a_k}\right)\exp\left(\frac{z}{a_k}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_k}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_k}\left(\frac{z}{a_k}\right)^{p_k}\right)\right\}^{n_k}$,

где $h$ — произвольная целая функция, а неотрицательные целые числа $p_n$ подобраны таким образом, чтобы ряд

$\sum_{k=1}^\infty \frac{n_k}{p_k+1}\left|\frac{z}{a_k}\right|^{p_k+1}$

сходился при всех $z$.

Замечание

Данная теорема, как и теорема Миттаг-Леффлера, представляет собой обобщение известного свойства — разложения многочленов на сомножители — на случай целых функций.

Литература

• Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М., 1968. Стр. 125 и сл.
• Rüchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стр. 200.