Интегральная формула Коши

В этой статье отсутствует вступление. Пожалуйста, допишите вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи.

Формулировка

Пусть $D$ — область на комплексной плоскости с кусочно-гладкой границей $\Gamma=\partial D$, функция $f(z)$ — голоморфна в $\overline{D}$ и $z_0$ — точка внутри области $D$. Тогда справедлива следующая формула Коши:

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_\Gamma\,\frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$

Формула справедлива также, если предполагать, что $f(z)$ голоморфна внутри $D$, и непрерывна на замыкании, а также если граница $D$ не кусочно-гладкая, а всего лишь спрямляемая.

Доказательство

Рассмотрим окружность S_ρ достаточно малого радиуса ρ с центром в точке z₀. В области, ограниченной контурами Γ и S_ρ подынтегральная функция не имеет особенностей и по интегральной теореме Коши интеграл от неё по границе этой области равен нулю. Это означает, что независимо от ρ имеем равенство:

$\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz = \int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$

Для расчёта интегралов по $S_\rho$ применим параметризацию $z=z_0+\rho e^{i\varphi},\varphi\in[0;2\pi]$.
Сначала докажем формулу Коши отдельно для случая $f(z)=1$:

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho}\frac{1}{z-z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} \frac{1}{\rho e^{i\varphi}} i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 1$

Воспользуемся ею для доказательства общего случая:

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z_0)}{z-z_0}\,dz = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz$

Так как функция $f(z)$ комплексно дифференцируема в точке $z_0$, то:

${f(z) - f(z_0)\over z - z_0} = f'(z_0) + o(1)$

Интеграл от $f\,'(z_0)$ равен нулю:

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho}f'(z_0)\,dz = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_0^{2\pi} f'(z_0) i\rho e^{i\varphi}\,d\varphi = 0$

Интеграл от члена $o(1)$ может быть сделан сколь угодно мал при $\rho\rightarrow 0$. Но поскольку он от $\rho$ вообще не зависит, значит он равен нулю. В итоге получаем, что

$\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\Gamma} \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz - f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{S_\rho} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz = 0$

Следствия

Формула Коши имеет массу различных следствий. Это — ключевая теорема всего комплексного анализа. Вот некоторые из её следствий:

Аналитичность голоморфных функций

В окрестности любой точки $z_0$ из области, где функция $f(z)$ голоморфна, она совпадает с суммой степенного ряда:

$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$,

причём его радиус сходимости не меньше радиуса круга с центром в точке $z_0$, в котором функция $f(z)$ голоморфна, а коэффициенты $c_n$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

$c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz$.

Из этих формул следуют неравенства Коши для коэффициентов $c_n$ функций, голоморфных в круге ${|z-z_0|<R}$:

$c_n\le r^{-n}M(r)$,

где $M(r)$ — максимум модуля функции $f(z)$ на окружности ${|z-z_0|=r}$, а из них — теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если функция голоморфна во всей комплексной плоскости и ограничена, она есть константа.

Кроме того, сочетая формулы для коэффициентов с теоремой о голоморфности суммы степенного ряда с ненулевым радиусом сходимости и формулой, выражающей коэффициенты степенного ряда через производные его суммы

$c_n = {{f^{(n)}(z_0)}\over n!}$

получается интегральное представление производных функции $f(z)$:

$f^{(n)}(z_0)={n!\over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z)\over (z-z_0)^{n+1}}\,dz.$

Оценки производных, аналогичные неравенствам Коши, дают теорему о равностепенной непрерывности семейства голоморфных функций в ограниченной области $D$, если это семейство равномерно ограничено в $D$. В сочетании с теоремой Арцела—Асколи, получается теорема Монтеля о компактном семействе функций: из любого равномерно ограниченного семейства функций, голоморфных в ограниченной области $D$, можно выделить такую последовательность функций, которая будет сходиться в $D$ к некоторой голоморфной функции равномерно.

Представимость голоморфных функций рядами Лорана в кольцевых областях

Если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$ вида $\{r<|z-z_0|<R\}$, то в ней она представима суммой ряда Лорана:

$f(z)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n$,

причём коэффициенты $c_n$ могут быть вычислены по интегральным формулам:

$c_n = {1 \over 2\pi i}\int\limits_{\Gamma}{f(z) \over (z - z_0)^{n+1}}\,dz$,

а сам ряд Лорана сходится в $D$ к функции $f(z)$ равномерно на каждом компакте из $D$.

Формула для коэффициента $c_{-1}$ часто применяется для вычисления интегралов от функции $f(z)$ по различным контурам, используя алгебраические методы и теорию вычетов.

Также в терминах рядов Лорана производится классификация изолированных особых точек голоморфных функций.

Теоремы о среднем для голоморфных функций

Если функция $f(z)$ голоморфна в круге $\{|z-z_0|< R\}$, тогда для каждого $r\,(0<r<R)$

$f(z_0) = {1 \over 2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\varphi})\,d\varphi$

а также если $B_r$ — круг радиуса $r$ с центром в $z_0$, тогда

$f(z_0) = {1 \over \pi r^2}\int\limits_{B_r}f(z)\,dx\,dy$

Из теорем о среднем следует принцип максимума модуля для голоморфных функций: если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$ и внутри $D$ её модуль имеет локальный максимум, тогда эта функция есть константа.

Из принципа максимума модуля следует принцип максимума для вещественной и мнимой части голоморфной функции: если функция $f(z)$ голоморфна в области $D$ и внутри $D$ её вещественная или мнимая часть имеет локальный максимум или минимум, тогда эта функция есть константа.

Теоремы о единственности

Из принципа максимума модуля и представимости голоморфных функций степенными рядами следуют ещё 3 важных результата:

• лемма Шварца: если функция $f(z)$ голоморфна в круге ${|z|<1}$, $f(0)=0$ и для всех точек $z$ из этого круга $|f(z)|\le 1$, тогда всюду в этом круге $|f(z)|\le |z|$,
• теорема единственности для степенных рядов: голоморфные функции, имеющие одинаковые ряды Тейлора в точке $z_0$, совпадают в некоторой окрестности этой точки,
• теорема о нулях голоморфной функции: если нули функции $f(z)$, голоморфной в области $D$ имеют предельную точку внутри $D$, тогда функция $f(z)$ равна нулю всюду в $D$.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Интегральная формула Коши (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Cauchy Integral Formula Module by John H. Mathews

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.-Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
• Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.