Вектор Шепли

Вектор Шепли — принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме ее формирования.

Формальное определение

Для кооперативной игры рассмотрим некоторое упорядочение множества игроков N. Обозначим через $K_i$ подмножество, содержащее i первых игроков в данном упорядочении. Вкладом i-го по счету игрока назовем величину $v(K_i)-v(K_{i-1})$, где v — характеристическая функция кооперативной игры.

Вектором Шепли кооперативной игры называется такое распределение выигрыша, в котором каждый игрок получает математическое ожидание своего вклада в соответствующие коалиции $K_i$, при равновероятном возникновении упорядочений:

$\Phi(v) = \frac{1}{n!}\sum_{\tau \in T}x_{\tau},$

где n — количество игроков, T — множество упорядочений множества игроков N, $x_{\tau}$ — распределение выигрыша, в котором игрок, стоящий на месте i в упорядочении $\tau$, получает свой вклад в коалицию $K_i$ (точка Вебера).

Более распространенная формула для вычисления вектора Шепли, не требующая нахождения n! точек Вебера, имеет вид:

$\Phi(v)_{i} = \sum_{K \ni i}\frac{(k-1)!(n-k)!}{n!}(v(K)-v(K \setminus i)),$

где n — количество игроков, k — количество участников коалиции K.

Аксиоматика вектора Шепли

Вектор Шепли удовлетворяет следующим свойствам:

1. Линейность. Отображение $\Phi(v)$ представляет собой линейный оператор, то есть для любых двух игр с характеристическими функциями v и w

$\Phi(v+w) = \Phi(v) + \Phi(w);$

и для любой игры с характеристической функцией v и для любого $\alpha$

$\Phi(\alpha v) = \alpha \Phi(v).$

2. Симметричность. Получаемый игроком выигрыш не зависит от его номера. Это означает, что если игра w получена из игры v перестановкой игроков, то ее вектор Шепли $\Phi(w)$ есть вектор $\Phi(v)$ с соответствующим образом переставленными элементами.

3. Аксиома болвана. Болваном в теории кооперативных игр называется бесполезный игрок, не вносящий вклада ни в какую коалицию, то есть игрок i, такой что для любой коалиции K, содержащей i, выполнено: $v(K)-v(K \setminus i)=0$.

Аксиома болвана состоит в том, что если игрок i — болван, то $\Phi(v)_i = 0$.

4. Эффективность. Вектор Шепли позволяет полностью распределить имеющееся в распоряжении тотальной коалиции благосостояние, то есть сумма компонент вектора $\Phi(v)$ равна $v(N)$.

Теорема Шепли. Для любой кооперативной игры v существует единственное распределение выигрыша, удовлетворяющее аксиомам 1 — 4, задаваемое приведенной выше формулой.

Литература

1. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики - М.: МГУ, 2005, 272 с.
2. Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков — М.: Наука, 1985
3. Мазалов В. В. Математическая теория игр и приложения — Изд-во Лань, 2010, 446 с.
4. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
5. Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы — Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.

См. также

• Кооперативная игра (математика)
• С-ядро
• N-ядро

Эту статью следует викифицировать. Пожалуйста, оформите её согласно правилам оформления статей.