Уравнение (неравенство) с параметрами

Уравнение (неравенство) с параметрами

[[Участник:Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

  1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
  2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:


a\,x+1=4,


Пример нелинейного уравнения с параметром:


\mbox{log}_{x^2}\frac{a+3}{7-x}=5,

где  x  — независимая переменная  a  — параметр.

Аналогично подразделяются и неравенства. Ниже будут представлены примеры решений уравнений и неравенств с параметрами.

Примеры

Пример 1.При каком a квадратное уравнение {x^2}+3\,x-a=0 имеет ровно один корень?

Решение. Любое квадратное уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю. Итак, дискриминант нашего уравнения: D=9+8\,a. Далее имеем: 9+8\,a=0, откуда a=-\tfrac{9} {8}.

Ответ:a=-\frac{9}{8}.
Пример 2. При каком a система уравнений :

 
\begin{cases} 
 x^2+y^2-2ax-2y-8+a^2=0,\\ 
 x^2+y^2-4x-2y+1=0 
\end{cases} 
.

имеет ровно два решения?

Решение. Сначала надо преобразовать два уравнения системы, выделив в них полные квадраты:  
\begin{cases} 
 x^2+y^2-2ax-2y-8+a^2=0,\\ 
 x^2+y^2-4x-2y+1=0 
\end{cases} 

\Leftrightarrow

\begin{cases}
 (x^2-2ax+a^2)+(y^2-2y+1)=9, \\
 (x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)=4
\end{cases}

\Leftrightarrow

\begin{cases}
 (x-a)^2+(y-1)^2=9, \\
 (x-2)^2+(y-1)^2=4
\end{cases}

Нетрудно догадаться, что эти два равенства системы есть не что иное как уравнения окружностей. Первая окружность имеет центр в точке (a;1), радиус 3, а вторая центр в точке (2;1) и радиус 2. Если построить схематично эти окружности в одной системе координат, то можно заметить, что их общих точек пересечения будет две втом случае, если a\in (-3;7). И задачу можно считать решённой.

Ответ:a\in (-3;7).
Пример 3. При всех a решить неравенство ax^2+(a+1)x+1 \geqslant 0.

Решение. Рассмотрим три случая:

  1. Если a=0, то неравенство приобретает вид x+1>0 \Leftrightarrow x \in (-1;+ \infty );
  2. Если a \geqslant 0, то все коэффициенты квадратного трехчлена будут положительны, значит, решение неравенства можно представить в виде x \in (- \infty ;x_1] \cup [x_2 ;+ \infty), где x_1, x_2 - корни многочлена и x_1 \leqslant x_2. Далее находим: x_1 =\cfrac{-a-1- \sqrt{a^2 +2a+1-4a}} {2a} \Leftrightarrow x_1 = \cfrac{-a-1-| a-1 |} {2a} = \begin{cases} -1, a \geqslant 1,\\ -\tfrac{1} {a}, 0 \leqslant a  \leqslant 1 \end{cases}

x_2 =  \begin{cases} -\tfrac{1} {a}, a \geqslant 1 , \\ -1, 0 \leqslant a  \leqslant 1 \end{cases}

Следовательно, x \in (-\infty ; -1] \cup [-\tfrac{1} {a} ; +\infty), если a \geqslant 1 и x\in (-\infty ;-\tfrac{1} {a}] \cup [-1; +\infty), если 0 \leqslant a  \leqslant 1  .

3. Если a \leqslant 0, то ветви параболы направлены вниз, естественно решение в общем виде будет выглядеть вот так: x \in [x_1 ; x_2 ] \Leftrightarrow x \in [-1 ; -\tfrac{1} {a} ]  .

Нам остается лишь записать ответ.

Ответ: если a=0, то  x \in (-1;+ \infty ); если a \geqslant 1, то x \in (-\infty ; -1] \cup [-\tfrac{1} {a} ; +\infty); если 0 \leqslant a  \leqslant 1  , то x\in (-\infty ;-\tfrac{1} {a}] \cup [-1; +\infty); если a \leqslant 0, то x \in [-1 ; -\tfrac{1} {a} ]  .

См. также


]]


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Уравнение (неравенство) с параметрами" в других словарях:

  • Неравенство с параметрами — Уравнение (неравенство) с параметрами  математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает: Найти все системы значений параметров, при …   Википедия

  • Уравнение с параметрами — Уравнение (неравенство) с параметрами  математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает: Найти все системы значений параметров, при …   Википедия

  • Неравенство с параметром — Уравнение (неравенство) с параметрами  математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает: Найти все системы значений параметров, при …   Википедия

  • Уравнение с параметром — Уравнение (неравенство) с параметрами  математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Решить уравнение с параметром означает: Найти все системы значений параметров, при …   Википедия

  • Решение уравнения — Уравнение равенство вида или , где f и g функции (в общем случае векторные) одного или нескольких аргументов, а также задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут… …   Википедия

  • Уравнения — Уравнение равенство вида или , где f и g функции (в общем случае векторные) одного или нескольких аргументов, а также задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут… …   Википедия

  • Корреляция — (Correlation) Корреляция это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин Понятие корреляции, виды корреляции, коэффициент корреляции, корреляционный анализ, корреляция цен, корреляция валютных пар на Форекс Содержание… …   Энциклопедия инвестора

  • УСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНОВ — раздел теории устойчивости движения, изучающий эволюцию солитонов, подверженных нек рому возмущению в нач. момент времени. В зависимости от тииа возмущения и способа его описания различают неск. видов У. с. На практике обычно ограничиваются… …   Физическая энциклопедия

  • Коэффициент корреляции — (Correlation coefficient) Коэффициент корреляции это статистический показатель зависимости двух случайных величин Определение коэффициента корреляции, виды коэффициентов корреляции, свойства коэффициента корреляции, вычисление и применение… …   Энциклопедия инвестора

  • АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕОРИЯ — наука о методах определения законов управления к. л. объектами, допускающих реализацию с помощью тех нич. средств автоматики. Исторически сложилось так, что методы А. у. т. получили свое первое развитие применительно к процессам, встречающимся… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»