Мера Жордана

Мера Жордана — один из способов формализации понятия длины, площади и $n$-мерного объёма в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Построение

Множество измеримо по Жордану если внутренняя мера Жордана равна внешней мере Жордана.

Мера Жордана $~m\Delta$ параллелепипеда $\Delta=\prod_{i=1}^n [a_i,\;b_i]$ в $\R^n$ определяется как произведение

$m\Delta=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i).$

Для ограниченного множества $E\subset\R^n$ определяются:

• внешняя мера Жордана

  $m_eE=\inf\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\supset E$

• внутренняя мера Жордана

  $m_iE=\sup\sum_{k=1}^N m\Delta_k,\quad\bigcup_k\Delta_k\subset E,\quad\Delta_k\cap\Delta_m = \varnothing$, если $k\neq m,$

здесь $\Delta_1,\;\Delta_2,\;\ldots,\;\Delta_N$ — параллелепипеды описанного выше вида.

Множество $~E$ называется измеримым по Жордану (квадрируемым при $~n=2$, кубируемым при $n\geqslant 3$), если $~m_eE=m_iE$. В этом случае мера Жордана равна $~mE=m_eE=m_iE$.

Свойства

• Мера Жордана инвариантна относительно движений евклидова пространства.
• Ограниченное множество $E\subset\R^n$ измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет меру Жордана нуль (или, что равносильно, когда его граница имеет меру Лебега нуль).
  • В частности, все множества, граница которых состоит из конечного числа гладких кривых и точек, измеримы по Жордану. Тем не менее, существуют множества, ограниченные простой замкнутой кривой Жордана, которые не измеримы по Жордану.
• Внешняя мера Жордана одна и та же для $~E$ и $\bar E$ (замыкания множества $~E$) и равна мере Бореля $\bar E$.
• Измеримые по Жордану множества образуют кольцо, на котором мера Жордана конечная аддитивная функция.

История

Приведённое понятие меры ввели Пеано (1887) и Жордан (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Пример множества, неизмеримого по Жордану

Рассмотрим меру Жордана $m$, определённую на $\R^2$ и пусть $A=\{(x,\;y)\in\R^2\colon 0\leqslant x\leqslant 1,\;0\leqslant y\leqslant 1\}$ — множество точек единичного квадрата. Пусть $X=A\cap\Q^2$ — множество, состоящее из всех точек множества $A$ с рациональными координатами, тогда $X$ — неизмеримое по Жордану множество, так как $m_e X=1,\;m_i X=0,\;m_e X\neq m_i X$, то есть верхняя и нижняя мера Жордана не совпадают.

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
• Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
• Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

См. также

• Мера множества
• Мера Лебега
• Мера Хаусдорфа
• Мера Бореля (англ.)