Индикатриса Дюпена

Индикатриса Дюпена или индикатриса кривизны — плоская кривая, которая даёт наглядное представление об искривленности поверхности в данной её точке.

Определение и свойства

Индикатриса Дюпена лежит в плоскости, касательной к поверхности $S$ в точке $p$, и является совокупностью концов отрезков, отложенных от точки $p$ в направлении $u$ в касательной плоскости и имеющих длину, равную $1 / \sqrt{\kappa_u}$, где $\kappa_u$ — абсолютная величина нормальной кривизны поверхности $S$ в точке $p$ в направлении $u$. Уравнение индикатрисы Дюпена имеет вид

$|II_p(v)|=1,$

где $v$ — вектор касательной плоскости, a $II_p$ — вторая фундаментальная форма поверхности $S$, в точке $p$.

Индикатриса Дюпена представляет собой:

• эллипс, если $p$ — эллиптическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна положительна.
  • В частности, окружность, если $p$ — точка округления;
• пару сопряженных гипербол, если $p$ — гиперболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна отрицательна;
• пару параллельных прямых, если $p$ — параболическая точка поверхности, т.е. гауссова кривизна равна нулю, но средняя кривизна не равна нулю.

История

Индикатриса Дюпена названа по имени Дюпена (фр.), впервые применившего эту кривую к исследованию поверхностей (1813).

См. также

• Асимптотическая кривая

Литература

• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
• Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.