Калибровочная инвариантность

Калибро́вочная инвариа́нтность — инвариантность прогнозов теории относительно (локальных) калибровочных преобразований. Впервые калибровочная инвариантность была установлена в классической электродинамике, она является следствием закона сохранения электрического заряда в силу теоремы Нётер. Требование калибровочной инвариантности — одно из ключевых положений физики элементарных частиц. Именно через калибровочную инвариантность удается самосогласованным образом описать в Стандартной модели электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия.

В классической электродинамике

Пусть $f=f(x,y,z,t)$ — произвольная скалярная функция координат и времени. Тогда если изменить потенциалы электромагнитного поля следующим образом:

$\varphi' = \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}; \, \mathbf A' = \mathbf A + \nabla f$

то реально наблюдаемое поведение системы не изменится. Это очевидно из того, что значения электрического и магнитного полей $\mathbf E$ и $\mathbf B$ при таком преобразовании останутся теми же.

Независимость от фазы комплексного числа

Упрощённо основную идею калибровочной инвариантности можно пояснить следующим образом. Основная характеристика, описывающая физическую систему в квантовой механике, — волновая функция — есть величина комплексная. Однако, все наблюдаемые величины, которые строятся как билинейные комбинации волновых функций, оказываются вещественными (как и должно быть — ведь в нашем осязаемом мире все величины вещественны). В результате получается, что ничего в предсказаниях теории не изменится, если волновые функции умножаются на комплексное число, равное по модулю единице — $~e^{i\alpha}$. (Сопряжённая функция умножается, соответственно, на сопряжённое комплексное число). Это вполне естественно: абсолютное значение фазы комплексного числа — вещь произвольная и не должно влиять на предсказания теории.

Таким образом, квантовая механика инвариантна относительно глобальных фазовых вращений, иначе называемых глобальными калибровочными преобразованиями.

Идея калибровочной инвариантности

А инвариантна ли квантовая механика относительно локальных фазовых вращений $e^{i\alpha(\bold{x})}$ (локальных калибровочных преобразований)? Иными словами, изменится ли что-либо, если волновую функцию в одной точке мы провернём на одну фазу, а в другой точке — на другую? Да, изменится. В частности, очевидно изменится, причём почти произвольным образом, правая часть уравнения Шрёдингера, а значит и эволюция системы во времени. То есть квантовая механика свободной частицы оказывается неинвариантной относительно локальных фазовых вращений.

Можно ли восстановить инвариатность? Да, можно. Однако для этого надо ввести новое физическое поле, которое «чувствует» то внутреннее пространство, в котором мы производим фазовые вращения. В результате, при локальных фазовых вращениях у нас преобразуются как волновые функции, так и новое поле, причём так, что изменения в уравнениях за счёт них компенсируют, «калибруют» друг друга. То есть квантовая механика с дополнительным новым полем стала калибровочно инвариантна.

Если теперь изучить свойства нового поля, то оно будет напоминать электромагнитное поле, которое мы наблюдаем в нашем мире. В частности, взаимодействие этого поля с веществом как раз совпадает с электромагнитным. Поэтому вполне естественно при построении теории отождествить эти два поля.

Итак, требование калибровочной инвариантности оказалось неожиданно удобным способом ввести в теорию и электромагнитное поле. Его не пришлось рассматривать отдельно, оно появилось в теории почти «само».

Калибровочные поля как основа Стандартной Модели

Абсолютно аналогично можно ввести и калибровочные преобразования более сложного вида, отвечающие за инвариантность в некотором более сложном пространстве внутренних степеней свободы. Так, например, инвариантность относительно вращений кварков в цветовом пространстве приводит к тому, что сильные взаимодействия тоже можно описать как калибровочные поля. Слабые взаимодействия отдельно описать как калибровочные не получается, однако существует неожиданно изящный метод описания электромагнитного и слабого взаимодействий одновременно как двух разных проявлений некоторого калибровочного электрослабого поля.

Таким образом, получается, что все фундаментальные взаимодействия выводятся на основании калибровочной инвариантности. С точки зрения построения физической теории, это крайне экономная и удачная схема.

Особняком стоит гравитационное взаимодействие. Оно также оказывается калибровочным полем, причём общая теория относительности как раз и является калибровочной теорией гравитационного взаимодействия. Однако она формулируется, во-первых, не на квантовом уровне, и до сих пор непонятно, как именно проквантовать её, а во-вторых, пространством, в котором мы производим вращения, является наше привычное четырёхмерное пространство-время, а не внутреннее пространство симметрии взаимодействия.

Литература

• Г. 'т Хоофт, Калибровочные теории сил между элементарными частицами, "Успехи физических наук", 1981, т. 135, вып. 3, с.379. (перевод статьи из «Scientific. American», June 1980, Vol. 242, p.90.)
• Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. — М.: Атомиздат, 1972.
• Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М.: Наука, 1978. — 238 с.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М.: УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля. — М.: УРСС, 2000. — 157 с. — ISBN 5-88417-221-4

См. также

• Калибровка векторного потенциала
• Калибровочная теория гравитации
• Нерешённые проблемы современной физики