Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит:

Каждая арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Фактически Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k:

\lim_{s\to 1+}\frac{\sum\limits_p\dfrac{1}{p^s}}{\ln\dfrac{1}{s-1}}=\frac{1}{\varphi(k)},

где суммирование ведётся по всем простым числам p с условием p\equiv l \pmod k, а \varphi — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов \mod k, поскольку

\lim_{s\to 1+}\dfrac{\sum\limits_p\dfrac{1}{p^s}}{\ln\dfrac{1}{s-1}}=1,

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Литература

  • Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука, 1986.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Полезное



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»