Теорема Рауса — Гурвица

Теорема Рауса — Гурвица

Теорема Рауса — Гурвица предоставляет возможность определить, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу. Была доказана в 1895 году и названа в честь Эдварда Джона Рауса (англ.) и Адольфа Гурвица.

Условные обозначения

Пусть f(z) — многочлен (с комплексными коэффициентами) степени n. При этом среди его корней нет двух корней на одной и той же мнимой линии (т. e. на линии z = ic где i — мнимая единица и c — вещественное число). Давайте обозначим P₀(y) (многочлен степени n) и P₁(y) (ненулевой многочлен степени строго меньше чем n) через f(iy) = P₀(y) + iP₁(y), относительно действительной и мнимой части f мнимой линии.

Введём следующие обозначения:

• p — число корней f в левой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• q — число корней f в правой полуплоскости (взятых с учётом кратностей);
• Δargf(iy) — изменение аргумента f(iy), когда y пробегает от $-\infty$ до $+\infty$;
• w(x) — число изменений обобщённой цепочки Штурма, полученной из P₀(y) и P₁(y) с помощью алгоритма Евклида;

• $I_{-\infty}^{+\infty} r(x)$ — индекс Коши рациональной функции r(x) на вещественной прямой.

Пусть f(z) — многочлен Гурвица над комплексными числами, то есть f не имеет комплексных коэффициентов и все корни f лежат в левой полуплоскости. Разложим f в сумму:

f(z) = g(z²) + zh(z).

Обозначим коэффициенты g как $a_j^0$, а h — как $a_j^1$. Внимание! Они пронумерованы «с конца», то есть свободным коэффициентом многочлена g является $a_0^0$.

Формулировка

В обозначениях, введённых выше, теорема Рауса-Гурвица формулируется следующим образом:

$p-q=\frac{1}{\pi}\Delta\arg f(iy)=-I_{-\infty}^{+\infty}\frac{P_1(y)}{P_0(y)}=w(+\infty)-w(-\infty).$

Из первого равенства, например, мы можем заключить, что когда изменение аргумента f(iy) положительно, тогда f(z) имеет больше корней слева от мнимой оси, чем справа. Равенство $p-q=w(+\infty)-w(-\infty)$ может рассматриваться как комплексный аналог теоремы Штурма. Однако есть отличие: в теореме Штурма левая часть p + q, а w из правой части есть число изменений в цепочке Штурма (в то время как в данном случае w относится к обобщённой цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Гурвица

Основная статья: Критерий Гурвица

Определим матрицу Гурвица как выстроенные «лесенкой» нечётные и чётные коэффициенты:

$H_f=\begin{pmatrix}a_1^1 & a_3^1 & \dots & a_n^1 & &\\ a_0^2 & a_2^2 & \dots & a_n^2 & &\\ & a_1^1 & a_3^1 & \dots & a_n^1 &\\ & a_0^2 & a_2^2 & \dots & a_n^2 &\\ & \vdots & & & \vdots &\\ & & & & \dots & a_n^1 \end{pmatrix},$

в зависимости от степени многочлена, в последней строке будут чётные или нечётные коэффициенты. Все главные миноры этой матрицы положительны, если f — многочлен Гурвица, и наоборот.

Критерий устойчивости Рауса

Основная статья: Критерий Рауса

Цепочка Штурма, начинающаяся многочленами g и h, определяет последовательность $a_0^1, a_0^2, \dots, a_0^n$ ведущих коэффициентов многочленов цепочки. Все элементы этой последовательности имеют строго одинаковый знак, если f — многочлен Гурвица, и наоборот.

• Существует более общая версия критерия Рауса: количество корней в правой полуплоскости равно количеству перемен знака в цепочке.
• Обратите также внимание, что в записи $a_0^i$ число i — индекс переменной, а не показатель степени.

Эквивалентность

Критерии Гурвица и Рауса эквивалентны. Они оба характеризуют стабильные по Гурвицу многочлены.

Доказательство

Применив метод Гаусса к матрице H_f мы получим диагональную матрицу $H_f^*$. Однако теперь критерий Гурвица соответствует требованию «все элементы $h_{j,j}^*$ трансформированной матрицы имеют одинаковый знак». Если же подробно рассмотреть, как метод Гаусса трансформирует матрицу H_f, мы получим условия генерации цепочки Штурма. Убедившись, что коэффициенты $h^*_{j,j}$ соответствуют коэффициентам $a_0^j$, мы и получим критерий Рауса.

Критерий Рауса — Гурвица

Основная статья: Критерий устойчивости Рауса - Гурвица

Из этой теоремы легко следует критерий устойчивости, так как f(z) — устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда p − q = n. Таким образом получаем условия на коэффициенты f(z), накладывая дополнительные условия $w(+\infty)=n$ и $w(-\infty)=0$.

Наравне с теоремой Стильеса, теорема Рауса — Гурвица дает способы характеризации устойчивых многочленов. Устойчивость — свойство, важное не только в теории функций комплексных переменных. Например, в теории управления рациональный фильтр является стабильным тогда и только тогда, когда его z-преобразованная устойчива. Она является таковой, если многочлен Лорана в знаменателе не имеет корней вне единичной окружности. Решение этой проблемы можно, однако, свести к проблеме устойчивости «обычного» многочлена в изложенной в данной статье формулировке.

Кроме того, соответствие критериев Рауса и Гурвица дает больше информации о структуре простого критерия Рауса, которая видна при изучении более сложного критерия Гурвица.

См. также

• Weisstein, Eric W. Теорема Рауса-Гурвица(англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Теорема Стилтьеса
• Устойчивый многочлен
• Дробно-линейное преобразование
• Критерий устойчивости Рауса
• Критерий устойчивости Гурвица
• Феликс Гантмахер, «Теория матриц»