- Пространственная форма
-
Пространственная форма — связное полное риманово многообразие постоянной кривизны .
Пространственная форма называется сферической, евклидовой или гиперболической если соответственно , , .
С помощью перенурмеровки метрики, классификацию пространственных форм можно свести к трём случаям: .
Содержание
Примеры
- Евклидовы пространственные формы:
- Евклидово пространство.
- Плоский тор , где — -мерная решетка в ,.
- Бутылка Клейна с плоской метрикой.
- При имеется классов ориентируемых и класса неориентируемых аффинно не эквивалентных компактных eвкидовых пространственных форм
- Двумерная некомпактная eвкидова пространственная форма, отличная от , гомеоморфна цилиндру, либо листу Мёбиуса.
- Сферические пространственные формы:
- Сфера в радиуса есть сферическая пространственная форма кривизны .
- Линзовое пространство с метрикой постоянной кривизны
- Сфера Пуанкаре с метрикой постоянной кривизны
- Вещественное проективное пространство с метрикой постоянной кривизны
- Гиперболические пространственные формы:
- Пространство Лобачевского (гиперболическое пространство) .
- Двумерную ориентированную компактную гипрболическую пространственную форму рода можно склеить из выпуклого -угольника в плоскости Лобачевского с попарно равными сторонами и суммой углов равной . Семейство неизоморфных компактных гиперболических пространственных форм размерности рода зависит от вещественных параметров.
- Примеры гиперболических пространственных форм приведены в [1].
Общие свойства
- При произвольном и существует единственная с точностью до изометрии -мерная односвязная пространственная форма кривизны . Если то это -мерная сфера радиуса , при это евклидово пространство и при это -мерное пространство Лобачевского.
- Универсальное накрытие любой -мерной пространственной формы кривизны с поднятой метрикой изометрично .
- Иначе говоря, любая -мерная пространственная форма кривизны может быть получена из факторизацией по дискретной группе движений, действующих свободно (то есть без неподвижных точек); при этом два пространства и изометричны в том и только в том случае, когда и сопряжены в группе всех движений . Тем самым проблема классификации пространственных форм сводится к задаче описания всех несопряженных групп движений пространств , в , действующих дискретно и свободно.
Свойства сферических пространственных форм
Исчерпывающая классификация сферических пространственных форм получена в [2]
- Если чётно, то единственным движением сферы без неподвижных точек является центральная симметрия, переводящая каждую точку сферы в диаметрально противоположную. Факторпространство по группе , порожденное этим движением, есть вещественная проективная плоскость с метрикой постоянной кривизны (также называется пространство Римана или эллиптическое пространство). В частности
- Любая сферическая пространственная форма чётной размерности изометрична либо , либо .
- Любая конечная циклическая группа может служить фундаментальной группой сферической пространственной формы (см. линзовое пространство).
- Чтобы нециклическая группа порядка могла служить фундаментальной группой -мерной сферической пространственной формы, необходимо (но не достаточно), чтобы было взаимно просто с и делилось на квадрат какого-либо целого числа.
Свойства eвклидовых пространственных форм
Фундаментальные группы компактых eвклидовых пространственных форм являются частным случаем кристаллографических групп. Теоремы Бибербаха о кристаллографических группах в приводят к структурной теории компактных eвклидовых пространственных форм произвольной размерности:
- Для любого существует только конечное число разных классов афинно не эквивалентных компактных eвклидовых пространственных форм размерности .
- Две компактные eвклидовы пространственные формы и аффинно эквивалентны, тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы и изоморфны.
- Например, любая двумерная компактная eвклидова пространственная форма гомеоморфна (а следовательно, аффинно эквивалентна) либо плоскому тору, либо плоской бутылке Клейна.
- Абстрактная группа тогда и только тогда может служить фундаментальной группой компактной eвклидовой пространственной формы , когда
- имеет нормальную абелеву подгруппу конечного индекса, изоморфную ;
- совпадает со своим централизатором в ;
- не имеет элементов конечного порядка.
- Если такая группа реализована в виде дискретной подгруппы в группе всех движений пространства , то совпадает с множеством параллельных сдвигов, принадлежащих , и имеется нормальное накрытие пространства плоским тором .
- Конечная группа изоморфна группе голономии пространства .
- Компактная евклидова пространственная форма всегда имеет конечную группу голономии.
- Справедливо и обратное утверждение: компактное риманово пространство, группа голономии которого конечна, является плоским.
- Любая конечная группа изоморфна группе голономии некоторой компактной eвклидовой пространственной формы.
- Любая некомпактная eвклидова пространственная форма допускает вещественноаналитическую ретракцию на компактное вполне геодезическое плоское подмногообразие (см. теорема о душе).
- В частности класс фундаментальных групп некомпактных eвкидовых пространственных форм совпадает с классом фундаментальных групп компактных eвклидовых пространственных форм.
Свойства гиперболических пространственных форм
- Компактные гиперболические пространственные формы размерности , имеющие изоморфные фундаментальные группы, изометричны.
История
Исследование двумерных гиперболических пространственных форм по существу началось в 1888, когда Пуанкаре изучая дискретные группы дробно-линейных преобразований комплексной полуплоскости — фуксовы группы, заметил, что их можно трактовать как группы движений плоскости Лобачевского.
Проблема классификации -мерных римановых пространств произвольной постоянной кривизны была сформулирована Киллнигом (нем.), который назвал её проблемой пространственных форм Клиффорда — Клейна; современная формулировка этой проблемы была дана Хопфом (1925).
Вариации и обобщения
Кроме римановых пространственных форм изучались их обобщения: псевдоримановы, аффинные и комплексные пространственные формы и пространственные формы симметрических пространств.
Литература
Категория:- Риманова (и псевдориманова) геометрия
- Евклидовы пространственные формы:
Wikimedia Foundation. 2010.