Теорема косинусов

Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора:

Для плоского треугольника со сторонами $a, b, c$ и углом $\alpha$, противолежащим стороне $a$, справедливо соотношение: $a^2 = b^2 + c^2 - 2\cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha$.

Класcическое доказательство  

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:

$AD = b \cos \alpha$,

$DB = c - b \cos \alpha$

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

$h^2 = b^2 - (b \cos \alpha)^2 \qquad \qquad \qquad(1)$

$h^2 = a^2 - (c - b \cos \alpha)^2 \qquad \qquad (2)$

Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:

$b^2 - (b \cos \alpha)^2 = a^2 - (c - b \cos \alpha)^2$

или

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Выражения для сторон b и c:

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Доказательство через координаты  

Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.

Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c,AC=b,CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
$a^2 = (b\cos{a} - c)^2 + b^2\sin^2{a}$
$a^2 = b^2\cos^2{a} - 2bc\cos{a} + c^2 + b^2\sin^2{a}$
$a^2 = b^2(\cos^2{a} + \sin^2{a}) + c^2 - 2bc\cos{a}$
Так как
$\cos^2{a} + \sin^2{a} = 1$ (основное тригонометрическое тождество), то
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{a}$
Теорема доказана.
Стоит отметить, что для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² - известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.

Следствие из теоремы косинусов

Следствие теоремы косинусов опирается на свойства функции cos:

• Если $\alpha \in(0^\circ;90^\circ)$, то cosα>0
• Ecли α=90°, то cosα=0
• Если $\alpha \in(90^\circ;180^\circ)$, то cosα<0

Теперь из полученной ранее формулы выразим соsα:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{a}$
$2bc\cos{a} = b^2 + c^2 - a^2$
$\cos{a} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$2bc > 0$, при любых b и c (так как это положительные длины сторон), значит:

• Если $b^2 + c^2 - a^2 > 0$, угол α — острый
• Если $b^2 + c^2 - a^2 = 0$, угол α — прямой
• Если $b^2 + c^2 - a^2 < 0$, угол α — тупой

История

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени ал-Баттани).

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщения

• Теоремы косинусов (сферическая геометрия) или Теорема косинусов для трехгранного угла.
• Теоремы косинусов (геометрия Лобачевского)

Четырёхугольник

Возводя в квадрат тождество $\overline{AD}=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CD}$ можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

$d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B-2ac\cos\omega-2bc\cos\angle C$, где $\omega$ — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

$d^2=a^2+b^2+c^2-2ab\cos\angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos\angle C$

Симплекс

$S_i S_j \cos\angle A = \frac{(-1)^{(n-1+i+j)}}{2^{n-1} ((n-1)!)^2} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2n}^2 \\ 1 & d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & d_{n3}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}$

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится $d_{ij}$ или $d_{ji}$.

A — угол между гранями $S_i$ и $S_j$ , $S_i$ -грань, находящаяся против вершины i ,$d_{ij}$- расстояние между вершинами i и j.

См. также

• Решение треугольников
• Скалярное произведение
• Соотношение Бретшнайдера
• Теорема косинусов для трехгранного угла
• Сферическая теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 84-85. — ISBN 5-94057-170-0