Теорема Безу

Теорема Безу

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена P(x) на двучлен (x-a) равен P(a).

Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Содержание

Доказательство

Поделим с остатком многочлен P(x) на многочлен x-a:

P(x) = (x - a)Q(x) + R(x).

Так как \deg R(x) < \deg (x-a) = 1, то R(x) — многочлен степени не выше 0. Подставляя x=a, поскольку (a - a)Q(a) = 0, имеем P(a) = R(a).

Следствия

  • Число a является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x) делится без остатка на двучлен x-a (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения P(x)=0).
  • Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  • Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.

Приложения

Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

См. также



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Полезное


Смотреть что такое "Теорема Безу" в других словарях:

  • Безу теорема — остаток от деления многочлена Рп(х) степени п на двучлен х–b, где b  число, равен Рп(b). Установлена Э. Безу. * * * БЕЗУ ТЕОРЕМА БЕЗУ ТЕОРЕМА, остаток от деления многочлена Pn(x) степени n на двучлен x b, где b число, равен Pn(b). Установлена Э.… …   Энциклопедический словарь

  • Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что Натуральное число является простым тогда и только тогда, когда делится на p. Практическое использование теоремы Вильсона для определения простоты числа нецелесообразно из за сложности вычисления… …   Википедия

  • Безу, Этьенн — Этьенн Безу Этьенн Безу (фр. Étienne Bézout; 31 марта 1730, Немур  27 сентября 1783, Бас Лож близ Ф …   Википедия

  • БЕЗУ ТЕОРЕМА — остаток от деления многочлена Pn(x) степени n на двучлен x b, где b число, равен Pn(b). Установлена Э. Безу …   Большой Энциклопедический словарь

  • Теорема Гамильтона-Кэли — Теорема Гамильтона Кэли  известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли Теорема Гамильтона Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. (Если …   Википедия

  • Теорема Гамильтона — Теорема Гамильтона  Кэли  известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Теорема Гамильтона Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если …   Википедия

  • БЕЗУ ТЕОРЕМА — остаток от деления многочлена Рn(х) степени п на двучлен х b, где b число, равен Рп(b). Установлена Э. Безу в 1779 …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • БЕЗУ ТЕОРЕМА — 1) Б. т. о делении многочлена на линейный двучлен: остаток от деления многочлена на двучлен равен . Предполагается, что коэффициенты многочленов содержатся в нек ром коммутативном кольце с единицей (напр., в поле действительных или комплексных… …   Математическая энциклопедия

  • Соотношение Безу — В теории чисел соотношение Безу  соотношение между парой целых чисел и их наибольшим общим делителем, названное в честь французского математика Этьена Безу: Пусть a, b  целые числа, хотя бы одно из которых не нуль. Тогда существуют… …   Википедия

  • Паскаля теорема — Теорема Паскаля гласит: Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой. Теорема Паскаля… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»