Простой элемент

Простой элемент ― обобщение понятия простого числа.

Определение

Пусть $G$ ― область целостности или коммутативная полугруппа с единицей, удовлетворяющая закону сокращения. Ненулевой элемент $p\in G$, не являющийся делителем единицы, называется простым, если произведение $ab$ может делиться на $p$ лишь в том случае, когда хотя бы один из элементов $a$ или $b$ делится на $p$.

Свойства

• Всякий простой элемент является неприводимым, то есть делится только на делители единицы и ассоциированные с ним элементы.
• Неприводимый элемент не обязан быть простым, однако в гауссовой полугруппе эти два понятия совпадают.
  • Более того, если всякий неприводимый элемент из $G$ является простым, то полугруппа $G$ гауссова.

Аналогичные утверждения имеют место для факториальных колец.

• Элемент кольца является простым тогда и только тогда, когда главный идеал, порождённый этим элементом, ― простой идеал.

Вариации и обобщения

Существуют обобщения этих понятий на некоммутативный случай.

Литература

• Кон П., Свободные кольца и их связи, пер. с англ., М., 1975;
• Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973;
• Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968.