Поверхность вращения

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической и начертательной геометрии^[1]

Примеры

• Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).
• Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости).
• Эллипсоид вращения ― эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают. Может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей.
• Параболоид вращения ― эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси.
• Конус получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую.
• Круговая цилиндрическая поверхность
• Катеноид

Площадь

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Гюльдена, или теоремой Паппа о центроиде.

Например, для тора с радиусами $r, R\,$, площадь поверхности равна

$S=(2\pi r)\cdot(2\pi R) = 4\pi^2 r R$.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой $y=f(x),\ a\le x \le b$ вокруг оси $0x\,$ можно вычислить по формуле

$S=2\pi\int\limits_a^b f(x) \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx$

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой $x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha\le t \le\beta$ вокруг оси $0x\,$ можно вычислить по формуле

$S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t) \sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}dt$

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат $r=\rho(\varphi),\ \alpha\le \varphi \le\beta$ действительна формула

$S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta \rho(\varphi) |sin\varphi| \sqrt{\left(\rho(\varphi)\right)^2+\left(\rho'(\varphi)\right)^2}d\varphi$

Объём

Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.

Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой $y=f(x),\ a\le x \le b$ вокруг оси $0x\,$ можно вычислить по формуле

$V=\pi\int\limits_a^b f^2(x) dx$

Примечания

1. ↑ СГАУ «Курс лекций по начертательной геометрии» Губанов А. Н. под руководством Чемпинского Л. А. ссылка проверена 9 февраля 2009