Плотное множество

Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства. Формально говоря, A плотно в X, если всякая окрестность любой точки x из X содержит элемент A.

Определения

• Пусть даны топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$ и два подмножества $A,B\subset X.$ Тогда множество $A$ называется плотным в множестве $B$, если любая окрестность любой точки $B$ содержит хотя бы одну точку из $A$, то есть

$\forall x \in B \; \forall U\in \mathcal{T}\quad \bigl(x \in U\bigr) \Rightarrow \bigl(U \cap A \neq \emptyset\bigr).$

• Множество $A$ называется всюду плотным, если оно плотно в $X.$

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

• Множество $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда замыкание $A$ содержит $B$, то есть $\bar{A} \supset B$. В частности, $A$ всюду плотно, если $\bar{A} = X$.
• Множество $A$ плотно в $B$ тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к $A$ не пересекается с $B$, то есть $\left(A^{\complement}\right)^0 \cap B = \emptyset$. В частности, $A$ всюду плотно, если $\left(A^{\complement}\right)^0 = \emptyset$.

Примеры

• Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ плотно в пространстве вещественных чисел $\mathbb{R}$.

См. также

• Нигде не плотное множество
• Сепарабельное пространство

Литература

• Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян. Общая топология — М: Высшая школа, 1979.
• Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
• Энгелькинг Р. Общая топология — М.: Мир, 1986
• Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. Учебник в задачах (рус., англ.)