Простые числа-близнецы

Простые числа-близнецы, или парные простые числа — пары простых чисел, отличающихся на 2.

Общая информация

Все пары простых-близнецов, кроме (3, 5), имеют вид $6n\pm 1$.

По модулю 30 все пары близнецов, кроме первых двух, имеют вид (11, 13), (17, 19) или (29, 31).

Первые простые числа-близнецы:

  (3,  5),    (5,  7),    (11, 13),   (17, 19),   (29, 31),   (41, 43),   (59, 61), 
  (71,  73),  (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
  (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),
  (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),
  (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

На данный момент, наибольшими известными простыми-близнецами являются числа $3756801695685 \cdot 2^{666669}\pm 1$ ^[1]. Они были найдены 24 декабря 2011 года в рамках проекта распределенных вычислений PrimeGrid^[2].

Предполагается, что таких пар бесконечно много, но это не доказано. По гипотезе Харди-Литтлвуда, количество $\pi_2(x)$ пар простых-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

$\pi_2(x) \sim 2 C_2 \int\limits_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2}$

где $C_2$ — константа простых-близнецов:

$C_2 = \prod_{p\ge 3} \left(1-\frac{1}{(p-1)^2}\right) \approx 0.66016118158468695739278121100145\ldots$

Теорема Бруна

Вигго Брун в 1919 доказал, что $\pi_2(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^2}$ и ряд обратных величин сходится

$B_2=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right) +\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{17}+\frac{1}{19}\right)+\ldots$

Это означает, что если простых близнецов и бесконечно много, то они все же расположены в натуральном ряду довольно редко.

Значение $B_2 \approx 1.902160583104$ называется константой Бруна для простых-близнецов.

Впоследствии была доказана сходимость аналогичного ряда для обобщенных простых близнецов.

Списки

Самые большие известные простые близнецы

• $3756801695685 \cdot 2^{666669}\pm 1$ (200700 цифр)
• $65516468355 \cdot 2^{333333}\pm 1$ (100355 цифр)
• $2003663613 \cdot 2^{195000}\pm 1$ (58711 цифр)
• $194772106074315 \cdot 2^{171960} \pm 1$ (51780 цифр)
• $100314512544015 \cdot 2^{171960} \pm 1$ (51780 цифр)
• $16869987339975 \cdot 2^{171960} \pm 1$ (51779 цифр)

Простые числа-триплеты

Это тройка различных простых чисел, разность между наибольшим и наименьшим из которых минимальна. Наименьшими простыми числами, отвечающими заданному условию, являются — (2, 3, 5) и (3, 5, 7). Данная пара триплетов исключительна, так как во всех остальных случаях разность между первым и третьим членом равна шести. Обобщёно, последовательность простых чисел (p, p+2, p+6) или (p, p+4, p+6) называется триплетом.

Первые простые числа-триплеты:

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41 , 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), (101, 103, 107), (103, 107, 109), (107, 109, 113), (191, 193 , 197), (193, 197, 199), (223, 227, 229), (227, 229, 233), (277, 281, 283), (307, 311, 313), (311, 313, 317), (347, 349, 353), (457, 461, 463), (461, 463, 467), (613, 617, 619), (641, 643, 647), (821, 823, 827), (823, 827, 829), (853, 857, 859), (857, 859, 863), (877, 881, 883), (881, 883, 887)

На данный момент наибольшими известными простыми-триплетами являются числа:

(p, p+2, p+6), где p = 2072644824759 × 2³³³³³ − 1 (10047 цифр, ноябрь, 2008, Norman Luhn, François Morain, FastECPP)

Квадруплеты простых чисел

Четвёрки простых чисел вида (p, p+2, p+6, p+8) или сдвоенные близнецы или квадруплеты:

(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829), (1481, 1483, 1487, 1489), (1871, 1873, 1877, 1879), (2081, 2083, 2087, 2089), (3251, 3253, 3257, 3259), (3461, 3463, 3467, 3469), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439), (13001, 13003, 13007, 13009), (15641, 15643, 15647, 15649), (15731, 15733, 15737, 15739), (16061, 16063, 16067, 16069), (18041, 18043, 18047, 18049), (18911, 18913, 18917, 18919), (19421, 19423, 19427, 19429), (21011, 21013, 21017, 21019), (22271, 22273, 22277, 22279), (25301, 25303, 25307, 25309),... — последовательность A007530 в OEIS.

По модулю 30 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид (11, 13, 17, 19).

По модулю 210 все квадруплеты, кроме первого, имеют вид либо (11, 13, 17, 19), либо (101, 103, 107, 109), либо (191, 193, 197, 199).

Секступлеты простых чисел

Шестёрки простых чисел вида (p, p+4, p+6, p+10, p+12, p+16):

(7, 11, 13, 17, 19, 23), (97, 101, 103, 107, 109, 113), (16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073), (19417, 19421, 19423, 19427, 19429, 19433), (43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793) ... — последовательность A022008 в OEIS.

По модулю 210 все секступлеты, кроме первого, имеют вид (97, 101, 103, 107, 109, 113).

См. также

• Числа Софи Жермен
• Простые числа, отличающиеся на шесть
• Последовательности A001359 и A006512 из Энциклопедии числовых последовательностей.
• Арифметические прогрессии из простых чисел
• PrimeGrid

Примечания

1. ↑ The Largest Known Primes
2. ↑ World Record Twin Primes

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011.