Скалярный потенциал

У этого термина существуют и другие значения, см. Потенциал.

Скалярный потенциал векторного поля $\mathbf{A}$ (чаще просто потенциал векторного поля) — это скалярная функция $\phi$ такая, что во всех точках области определения поля

$\mathbf{A}=\operatorname{grad}\,\phi,$

где $\operatorname{grad}\phi$ обозначает градиент $\phi$. В физике обычно потенциалом называют величину, противоположную по знаку (потенциал силы, потенциал электрического поля).

Потенциальные поля

График гравитационного потенциала однородного диска в его плоскости.

Поле называется потенциальным, если для него существует скалярный потенциал. Для потенциального поля криволинейный интеграл между двумя точками

$\phi(\mathbf r) = \int\limits_C \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int\limits_a^b \mathbf{A}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{\dot r}(t)\,dt$

не зависит от пути интегрирования $C = \left\{ \mathbf{r}(t) | t \in [a,b] \right\}$, соединяющего эти точки. Это равносильно тому, что интеграл по любому замкнутому контуру $C$ равен нулю:

$\int\limits_C \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\, \mathbf{dr} = 0$

Непрерывное векторное поле в односвязной области трёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое:

$\mathbf{A} = \operatorname{grad}\,\phi \Leftrightarrow \operatorname{rot}\,\mathbf{A} = 0$

Обобщением этой теоремы на случай произвольного конечномерного пространства является лемма Пуанкаре. Для таких пространств существует изоморфизм между векторными полями $\mathbf{A}$ и 1-формами $\omega_{\mathbf{A}}$, при этом вопрос о существовании потенциала сводится к вопросу об обращении внешнего дифференцирования. Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна.

Заметим, что в общем случае неодносвязного пространства условия замкнутости недостаточно. Легко проверить, что поле на плоскости

$\mathbf{A} = \left( \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right)$

является безвихревым в любой односвязной области, не содержащей точку $(0,0)$, однако

$\int\limits_C \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\, \mathbf{dr} = 2\pi$

для любого контура $C$, один раз обходящего вокруг начала координат против часовой стрелки.

Ньютонов потенциал

Основная статья: Ньютонов потенциал

Из любого векторного поля в $\mathbb{R}^3$ можно выделить его потенциальную составляющую. Соответствующий ей потенциал можно записать в явном виде, не производя разложение самого поля. Он определяется интегралом, называющимся ньютоновым потенциалом:

$\phi(\mathbf{r}_0) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\operatorname{div}\,\mathbf{A}}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \right|} dV$

При этом дивергенция поля должна убывать на бесконечности быстрее, чем $\frac{1}{r^2}$. В случае безвихревого поля этот интеграл даёт скалярный потенциал поля.

Дивергенцию $\operatorname{div}\,\mathbf{A}$ можно отождествить с плотностью зарядов $\rho(\mathbf{r})$. В частности, для поля

$\mathbf{A} = - \frac{\mathbf{r}}{r^3}$

получаем обычную формулу для ньютонова гравитационного потенциала точечной массы, расположенной в начале координат:

$\phi(\mathbf{r}_0) = \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta(\mathbf{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \right|} dV = \frac{1}{r}$

где $\delta(\mathbf{r})$ — трёхмерная дельта-функция Дирака.

См. также

• Векторный потенциал
• Теорема разложения Гельмгольца