Иерархия Хомского

Иерархия Хомского — классификация формальных языков и формальных грамматик, согласно которой они делятся на 4 типа по их условной сложности. Предложена профессором Массачусетского технологического института, лингвистом Ноамом Хомским.

Классификация грамматик

Согласно Хомскому, формальные грамматики делятся на четыре типа. Для отнесения грамматики к тому или иному типу необходимо соответствие всех её правил (продукций) некоторым схемам.

Тип 0 — неограниченные

Грамматика с фразовой структурой G — это алгебраическая структура, упорядоченная четвёрка (V_T, V_N, P, S), где^[1]:

• $V_T$ — алфавит (множество) терминальных символов — терминалов,
• $V_N$ — алфавит (множество) нетерминальных символов — нетерминалов,
• $V = V_T \cup V_N$ — словарь $G$, причём $V_T \cap V_N = \empty$
• $P$ — конечное множество продукций (правил) грамматики, $P \subseteq V^+\times V^*$
• $S$ — начальный символ (источник).

Здесь $V^*$ — множество всех строк над алфавитом $V$, а $V^+$ — множество непустых строк над алфавитом $V$.

К типу 0 по классификации Хомского относятся неограниченные грамматики — грамматики с фразовой структурой, то есть все без исключения формальные грамматики. Правила можно записать в виде:

$\alpha\rarr\beta$,

где $\alpha$ — любая непустая цепочка, содержащая хотя бы один нетерминальный^{[источник не указан 76 дней]} символ, а $\beta$ — любая цепочка символов из алфавита.

Практического применения в силу своей сложности такие грамматики не имеют.

Тип 1 — контекстно-зависимые

К этому типу относятся контекстно-зависимые (КЗ) грамматики и неукорачивающие грамматики. Для грамматики G(V_T,V_N,P, S), V=V_T∪V_N все правила имеют вид^[2]:

• αAβ→αγβ, где α, β∈V^*, γ∈V⁺, A∈V_N. Такие грамматики относят к контекстно-зависимым.
• α→β, где α, β∈V⁺, 1≤|α|≤|β|. Такие грамматики относят к неукорачивающим.

Эти классы грамматик эквивалентны. Могут использоваться при анализе текстов на естественных языках, однако при построении компиляторов практически не используются в силу своей сложности. Для контекстно-зависимых грамматик доказано утверждение: по некоторому алгоритму за конечное число шагов можно установить, принадлежит цепочка терминальных символов данному языку или нет.

Тип 2 — контекстно-свободные

К этому типу относятся контекстно-свободные (КС) грамматики. Для грамматики G(V_T,V_N,P, S), V=V_T∪V_N все правила имеют вид:

• A→β, где β∈V⁺ (для неукорачивающих КС-грамматик, β∈V^* для укорачивающих), A∈V_N. То есть грамматика допускает появление в левой части правила только нетерминального символа.

КС-грамматики широко применяются для описания синтаксиса компьютерных языков (см. синтаксический анализ).

Тип 3 — регулярные

К третьему типу относятся регулярные грамматики (автоматные) — самые простые из формальных грамматик. Они являются контекстно-свободными, но с ограниченными возможностями.

Все регулярные грамматики могут быть разделены на два эквивалентных класса, которые для грамматики вида III будут иметь правила следующего вида:

• A→Bγ или A→γ, где γ∈V_T^*, A, B∈V_N (для леволинейных грамматик).
• A→γB; или A→γ, где γ∈V_T^*, A, B∈V_N (для праволинейных грамматик).

Регулярные грамматики применяются для описания простейших конструкций: идентификаторов, строк, констант, а также языков ассемблера, командных процессоров и др.

Классификация языков

Формальные языки классифицируются в соответствии с типами грамматик, которыми они задаются. Однако, один и тот же язык может быть задан разными грамматиками, относящимися к разным типам. В таком случае, считается, что язык относится к наиболее простому из них. Так, язык, описанный грамматикой с фразовой структурой, контекстно-зависимой и контекстно-свободной грамматиками, будет контекстно-свободным.

Так же, как и для грамматик, сложность языка определяется его типом. Наиболее сложные — языки с фразовой структурой (сюда можно отнести естественные языки), далее — КЗ-языки, КС-языки и самые простые — регулярные языки.

Примечания

1. ↑ Кук, Бейз, 1990, с. 258,264
2. ↑ Кук, Бейз, 1990, с. 268

Источники

• А. Ю. Молчанов. Системное программное обеспечение. Санкт-Петербург. Питер, 2006

Литература

• Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри Ульман ГЛАВА 5. Контекстно-свободные грамматики и языки // Введение в теорию автоматов, языков и вычислений = Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — М.: «Вильямс», 2002. — С. 528. — ISBN 0-201-44124-1
• Робин Хантер Основные концепции компиляторов = The Essence of Compilers. — М.: «Вильямс», 2002. — С. 256. — ISBN 5-8459-0360-2
• Кук Д., Бейз Г. Глава 8. Языки и грамматики // Компьютерная математика = Computer Mathematics. — М.: Наука. Физматлит, 1990. — 384 с. — ISBN 5-02-014216-6