Группа вращений

В механике и геометрии группа вращения (другое название - группа поворотов) является набором всех вращений ("поворотов") вокруг начала координат в 3-мерном Евклидовом пространстве, $\R^3$. По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц $3\times3$ с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3, SO(3)).

• Иногда группами вращений называют все SO(n), имея в виду, что SU(n) - группа вращений пространства $\R^n$.

Свойства

• Группа вращений некоммутативна.
• Группа вращений является группой Ли.
• Группа SO(3) диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера, любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором $v$), проходящей через центр координат, и углом $\varphi \in [-\pi,\pi]$. Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор $\varphi v$ и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса $\pi$. Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам $\pi$ и $-\pi$ соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
• Универсальная накрывающая группы SO(3) является специальной унитарной группой SU(2), или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

См. также

• Угловой момент
• Углы Эйлера
• Твёрдое тело