Нелинейное сглаживание по семи точкам

Нелинейное сглаживание по семи точкам

Нелинейное сглаживание по семи точкам — операция усреднения с помощью интерполяционного многочлена третьей степени, обеспечивающая получение уточнённого значения $\bar{y_{i}}$ по заданному значению y_i и ряду близлежащих значений $(...,\ y_{i-1},\ y_{i},\ y_{i+1},\ ...)$, известных со случайной погрешностью. См сглаживание данных эксперимента.

Выполняется с помощью формул:

$\bar{y}_{0}\ =\ \frac{39 \cdot y_{0}\ +\ 8 \cdot y_{1}\ -\ 4 \cdot (y_{2}\ +\ y_{3}\ -\ y_{4})\ +\ y_{5}\ -\ 2 \cdot y_{6}}{42}$,

$\bar{y}_{1}\ =\ \frac{8 \cdot y_{0}\ +\ 19 \cdot y_{1}\ +\ 16 \cdot y_{2}\ +\ 6 \cdot y_{3}\ -\ 4 \cdot y_{4}\ -\ 7 \cdot y_{5}\ +\ 4 \cdot y_{6}}{42}$,

$\bar{y}_{2}\ =\ \frac{-4 \cdot y_{0}\ +\ 16 \cdot y_{1}\ +\ 19 \cdot y_{2}\ +\ 12 \cdot y_{3}\ +\ 2 \cdot y_{4}\ -\ 4 \cdot y_{5}\ + y_{6}}{42}$,

$\bar{y}_{i}\ =\ \frac{7 \cdot y_{i}\ +\ 6 \cdot (y_{i+1}+y_{i-1})\ +\ 3 \cdot (y_{i+2}+y_{i-2})\ -\ 2 \cdot (y_{i+3}+y_{i-3})}{21};\ \ \ \ 3\le i \le N-3$,

$\bar{y}_{N-2}\ =\ \frac{-4 \cdot y_{N}\ +\ 16 \cdot y_{N-1}\ +\ 19 \cdot y_{N-2}\ +\ 12 \cdot y_{N-3}\ +\ 2 \cdot y_{N-4}\ -\ 4 \cdot y_{N-5}\ +\ y_{N-6}}{42}$,

$\bar{y}_{N-1}\ =\ \frac{8 \cdot y_{N}\ +\ 19 \cdot y_{N-1}\ +\ 16 \cdot y_{N-2}\ +\ 6 \cdot y_{N-3}\ -\ 4 \cdot y_{N-4}\ -\ 7 \cdot y_{N-5}\ +\ 4 \cdot y_{N-6}}{42}$,

$\bar{y}_{N}\ =\ \frac{39 \cdot y_{N}\ +\ 8 \cdot y_{N-1}\ -\ 4 \cdot y_{N-2}\ -\ 4 \cdot y_{N-3}\ +\ y_{N-4}\ +\ 4 \cdot y_{N-5}\ -2 \cdot y_{N-6}}{42}$,

где N - номер последней точки (ординаты y_i).

Следует заметить, что несмотря на название, метод линеен относительно входных данных (т.е. при увеличении всех величин входных данных в два раза результат тоже вырастет в два раза).

Литература

• Дьяконов В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. — М.: Наука, 1987. С. 240. ББК 22.18 Д93 УДК 519.6(083)