ПИД-регулятор

Схема, иллюстрирующая принцип работы ПИД-регулятора. Коэффициенты перед интегралом и производной опущены для большей наглядности иллюстрации.

Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД) регулятор — устройство в управляющем контуре с обратной связью. Используется в системах автоматического управления для формирования управляющего сигнала с целью получения необходимых точности и качества переходного процесса. ПИД-регулятор формирует управляющий сигнал, являющийся суммой трёх слагаемых, первое из которых пропорционально разности входного сигнала и сигнала обратной связи (сигнал рассогласования), второе — интеграл сигнала рассогласования, третье — производная сигнала рассогласования.

Если какие-то из составляющих не используются, то регулятор называют пропорционально-интегральным, пропорционально-дифференциальным, пропорциональным и т. п.

Общие сведения

Пропорциональная составляющая

Пропорциональная составляющая вырабатывает выходной сигнал, противодействующий отклонению регулируемой величины от заданного значения, наблюдаемому в данный момент времени. Он тем больше, чем больше это отклонение. Если входной сигнал равен заданному значению, то выходной равен нулю.

Однако при использовании только пропорционального регулятора значение регулируемой величины никогда не стабилизируется на заданном значении. Существует так называемая статическая ошибка, которая равна такому отклонению регулируемой величины, которое обеспечивает выходной сигнал, стабилизирующий выходную величину именно на этом значении. Например, в регуляторе температуры выходной сигнал (мощность нагревателя) постепенно уменьшается при приближении температуры к заданной, и система стабилизируется при мощности равной тепловым потерям. Температура не может достичь заданного значения, так как в этом случае мощность нагревателя станет равна нулю, и он начнёт остывать.

Чем больше коэффициент пропорциональности между входным и выходным сигналом (коэффициент усиления), тем меньше статическая ошибка, однако при слишком большом коэффициенте усиления, при наличии задержек в системе, могут начаться автоколебания, а при дальнейшем увеличении коэффициента система может потерять устойчивость.

Интегральная составляющая

Интегральная составляющая пропорциональна интегралу от отклонения регулируемой величины. Её используют для устранения статической ошибки. Она позволяет регулятору со временем учесть статическую ошибку.

Если система не испытывает внешних возмущений, то через некоторое время регулируемая величина стабилизируется на заданном значении, сигнал пропорциональной составляющей будет равен нулю, а выходной сигнал будет полностью обеспечивать интегральная составляющая. Тем не менее, интегральная составляющая также может приводить к автоколебаниям.

Дифференциальная составляющая

Дифференциальная составляющая пропорциональна темпу изменения отклонения регулируемой величины и предназначена для противодействия отклонениям от целевого значения, которые прогнозируются в будущем. Отклонения могут быть вызваны внешними возмущениями или запаздыванием воздействия регулятора на систему.

Теория

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Назначение ПИД-регулятора — в поддержании заданного значения x₀ некоторой величины x с помощью изменения другой величины u. Значение x₀ называется заданным значением, а разность e = (x₀ − x) — невязкой, рассогласованием или отклонением величины от заданной.

Выходной сигнал регулятора u определяется тремя слагаемыми:

$u(t) = P + I + D = K_p\,{e(t)} + K_i\int\limits_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} + K_d\frac{de}{dt}$,

где К_p, К_i, К_d — коэффициенты усиления пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих регулятора, соответственно.

Большинство методов настройки ПИД-регуляторов используют несколько иную формулу для выходного сигнала, в которой на пропорциональный коэффициент усиления умножены также интегральная и дифференциальная составляющие:

$u(t) = K_p\left(\,{e(t)} + K_{ip}\int\limits_{0}^{t}{e(\tau)}\,{d\tau} + K_{dp}\frac{de}{dt}\right)$

В дискретной реализации метода расчета выходного сигнала уравнение принимает следующую форму:

$U(n) = K_p E(n) +K_p K_{ip} T \sum^n_{k=0}{E(k)}+\frac{K_p K_{dp}}{T} (E(n)-E(n-1))$,

где $T$ — время дискретизации. Используя замену $K^{discr}_i=K_p K_{ip}T, K^{discr}_d=\frac{K_p K_{dp}}{T}$ можно записать:

$U(n) = K_p E(n) + K^{discr}_i \sum^n_{k=0}{E(k)} + K^{discr}_d (E(n)-E(n-1))$

В программной реализации для оптимизации расчетов переходят к рекуррентной формуле:

$U(n) = U(n-1) + K_p (E(n) - E(n-1)) + K^{discr}_i {E(n)} + K^{discr}_d (E(n)- 2 E(n-1)+ E(n-2))$

Система управления с обратной связью с участием ПИД-регулятора. Система управляет величиной y(t), т.е. выводит величину y(t) на заданное извне значение u(t). На вход ПИД-регулятора подаётся ошибка e(t), выход ПИД-регулятора является управляющим воздействием для некоторого процесса (для объекта управления), управляющего величиной y(t).

Часто в качестве параметров ПИД-регулятора используются:

• относительный диапазон

$P_b = \frac{1}{K_p}$

• постоянные интегрирования и дифференцирования, имеющие размерность времени

$T_i = \frac{1}{K_{ip}}$

$T_d = {K_{dp}}\;$

Следует учитывать, что термины используются по-разному в различных источниках и разными производителями регуляторов.

Ссылки

• ПИД-регулирование (ПИД-регулятор) на практических примерах
• Принципы работы ПИД-регуляторов
• Реализация ПИД регулятора на C++
• Перевод статьи «Просто о ПИД-алгоритмах»