Билинейное преобразование

Не следует путать с Билинейное отображение.

Билинейное преобразование (или преим. в зап. литературе преобразование Тастина (Tustin's method transformation)) — конформное отображение, используемое для того, чтобы преобразовать передаточную функцию $H_a(s) \$ линейной стационарной системы (корректирующие звенья систем управления, электронные фильтры и т. п.) из непрерывной формы в передаточную функцию $H_d(z) \$ линейной системы в дискретной форме. Оно отображает точки $j \omega \$-оси, $Re[s]=0 \$, на s-плоскости в окружность единичного радиуса, $|z| = 1 \$, на z-плоскости.

Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичной фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.

Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При взятии преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:

$z \$ $= e^{sT} \$ $= \frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}} \$ $\approx \frac{1 + s T / 2}{1 - s T / 2} \$

где $T \$ — период квантования (обратная к частоте дискретизации величина). Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.

Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом:

$s \$ $= \frac{1}{T} \log(z) \$ $= \frac{2}{T} \left[\frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^5 + \frac{1}{7} \left( \frac{z-1}{z+1} \right)^7 + \ldots \right] \$ $\approx \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1} \$ $\approx \frac{2}{T} \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \$

Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции $H_a(s) \$ на её дискретный аналог:

$s \leftarrow \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}.$

то есть:

$H_d(z) = H_a(s) \bigg|_{s = \frac{2}{T} \frac{z - 1}{z + 1}}= H_a \left( \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1} \right). \$

Билинейное преобразование — частный случай преобразования Мёбиуса, определяемого как:

$z^{\prime} = \frac{a z + b}{c z + d}.$

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.

Источники

1 на с. 47

2 глава 3.2.2 Метод билинейного преобразования

Расчет передаточной характеристики БИХ фильтра на основе аналогового фильтра прототипа. Билинейное преобразование  (рус.). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 15 ноября 2010.