Множество Жюлиа

Множество Жюлиа. Точнее, это не само множество (которое в данном случае состоит из несвязных точек и не может быть нарисовано), а точки из его окрестности. Чем ярче точка, тем ближе она к множеству Жюлиа и тем больше итераций ей нужно, чтобы уйти от нуля на заданное большое расстояние

Множество Жюлиа. Точнее, это не само множество (которое в данном случае состоит из несвязных точек и не может быть нарисовано), а точки из его окрестности. Чем ярче точка, тем ближе она к множеству Жюлиа и тем больше итераций ей нужно, чтобы уйти от нуля на заданное большое расстояние

Заполненное множество Жюлиа для отображения f(z)=z²-1. Осевая симметрия свидетельствует об отсутствии мнимой составляющей в свободном члене отображения f(z)

Заполненное множество Жюлиа для отображения f(z)=z²+0,28+0,0113i. Завихрения против часовой стрелки свидетельствуют о положительной мнимой составляющей в свободном члене отображения f(z)

В голоморфной динамике, мно́жество Жюлиа́ $\, J(f)$ рационального отображения $f:\C P^1\to \C P^1$ — множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если f — полином, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

Множество Фату $F(f)\,$ — дополнение к множеству Жюлиа. Иными словами, динамика итерирования f на $F(f)\,$ регулярна, а на $J(f)\,$ хаотична.

Дополняет большую теорему Пикара о «поведении аналитической функции в окрестности существенно особой точки».

Эти множества названы по именам французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату, положивших начало исследованию голоморфной динамики в начале XX века.

Определения

Пусть $f:\C P^1\to \C P^1$ — рациональное отображение. Множество Фату состоит из точек z, таких, что в ограничении на достаточно малую окрестность z последовательность итераций

$(f^n)_{n\in\mathbb{N}}$

образует нормальное семейство в смысле Монтеля. Множество Жюлиа — дополнение к множеству Фату.

Это определение допускает следующую эквивалентную переформулировку: множество Фату это множество тех точек, орбиты которых устойчивы по Ляпунову. (Эквивалентность переформулировки неочевидна, но она следует из теоремы Монтеля.)

Свойства

• Как следует из определений, множество Жюлиа всегда замкнуто, а множество Фату открыто.
• Множество Жюлиа для отображения степени, большей 1, всегда непусто (иначе можно было бы выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность из итераций.) В отношении же множества Фату аналогичное утверждение неверно: существуют примеры, в которых множество Жюлиа оказывается всей сферой Римана. Такой пример можно построить, взяв отображение $z\mapsto 2z (mod\, \Z [i])$ удвоения на торе $\C/\Z [i]$ (динамика которого, очевидно, везде хаотична) и пропустив его через $\wp$-функцию Вейерштрасса $\wp: \C/\Z [i] \to \C P^1$.
• Множество Жюлиа является замыканием объединения всех отталкивающих периодических орбит.
• Множества Фату и Жюлиа оба полностью инвариантны под действием f, то есть совпадают как со своим образом, так и с полным прообразом:

$\ f^{-1}(J(f)) = f(J(f)) = J(f),$

$\ f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).$

• Множество Жюлиа J(F) является границей (полного) бассейна притяжения любой притягивающей или суперпритягивающей орбиты; частным случаем этого является утверждение, что J(F) это граница заполненного множества Жюлиа (поскольку для полиномиального отображения бесконечность — суперпритягивающая неподвижная точка, а заполненное множество Жюлиа есть дополнение к её бассейну притяжения). Кроме того, взяв полиномиальное отображение с тремя различными притягивающими неподвижными точками, получаем пример трёх открытых (естественно, несвязных) множеств на плоскости с общей границей.
• Если открытое множество $U$ пересекает множество Жюлиа, то, начиная с некоторого достаточно большого n, образ $f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J$ совпадает со всем множеством Жюлиа $J$. Иными словами, итерации растягивают сколь угодно маленькую окрестность в множестве Жюлиа на всё множество Жюлиа.
• Поскольку указанное выше растяжение чаще всего происходит достаточно быстро, голоморфные отображения конформны, а множество Жюлиа инвариантно относительно динамики — оно оказывается имеющим фрактальную структуру: его маленькие части похожи на большие.
• Если множество Жюлиа отлично от всей сферы Римана, то оно не имеет внутренних точек.
• Для всех точек z сферы Римана, кроме, быть может, двух, множество предельных точек последовательности полных прообразов $f^{-n}(z)$ есть множество Жюлиа. Это свойство применяется в компьютерных алгоритмах построения множества Жюлиа.
• Теорема Салливана утверждает, что любая компонента связности множества Фату предпериодична. В свою очередь, теорема о классификации периодических компонент множества Фату утверждает, что периодические компоненты бывают одного из четырёх типов: бассейн притяжения притягивающей или суперпритягивающей неподвижной или периодической точки, лепесток Фату параболической точки, диск Зигеля и кольцо Эрмана.

Связанные понятия

Квадратичное отображение $z\mapsto P_2(z)$ заменой координат всегда приводится к виду $z\mapsto z^2 +c$. Оказывается, что множество Жюлиа будет связным, если и только если критическая точка z=0 (или, что то же самое, её образ z=c) не уходит на бесконечность. В случае, если итерации 0 стремятся к бесконечности, множество Жюлиа (совпадающее, в этом случае, с заполненным множеством Жюлиа) оказывается гомеоморфным канторову множеству и имеет меру ноль. В этом случае его называют пылью Фату (несмотря на сбивающее с толку название, это именно множество Жюлиа — множество хаотической динамики!).

Множество параметров c, при которых множество Жюлиа квадратичной динамики связно, называется множеством Мандельброта. Оно также имеет фрактальную структуру (и является, вероятно, одним из наиболее знаменитых фракталов).

Численное построение

Метод сканирования границы (BSM)

Если функция f имеет несколько аттракторов (неподвижных или периодических притягивающих точек), множество Жюлиа является границей бассейна притяжения любого из них. На этом свойстве основан алгоритм построения изображения множества Жюлиа, названный «методом сканирования границы» (boundary scanning method, BSM). Он состоит в следующем. Рассмотрим сетку из прямоугольных пикселей. Чтобы определить, следует ли закрашивать пиксель как принадлежащий множеству Жюлиа, вычисляется образ каждого из его «углов» под действием большого числа итераций f. Если образы далеки друг от друга, значит, углы принадлежат бассейнам разных аттракторов. Из этого следует, что граница между бассейнами проходит через данный пиксель, и он закрашивается. Перебирая все пиксели, получаем изображение, приближающее множество Жюлиа.

Этот метод также можно использовать и в случае, когда двух аттракторов нет, но есть диски Зигеля, кольца Эрмана или параболические бассейны. (Если две близкие точки остаются близкими, значит, их орбиты устойчивы по Ляпунову, и небольшая окрестность этих точек принадлежит области Фату; иначе вблизи них имеются точки множества Жюлиа.) В то же время, данный метод не работает, когда отображение имеет лишь один аттрактор, и почти вся сфера Римана является его бассейном притяжения. (Например, $z\mapsto z^2+i$.)^[1]

Метод вычисления обратных итераций (IIM)

Множество Жюлиа является замыканием объединения всех полных прообразов любой отталкивающей неподвижной точки. Таким образом, если имеется эффективный алгоритм вычисления обратного отображения $f^{-1}$, и известна хотя бы одна отталкивающая неподвижная точка, для построения множества Жюлиа можно последовательно вычислять её обратные образы. На каждом шаге у каждой точки имеется столько же прообразов, какова степень f, поэтому общее число прообразов растет экспоненциально, и хранение их координат требует больших объемов памяти.^[1] На практике также используется следующая модификация: на каждом шаге выбирается один случайный прообраз. При этом, однако, нужно учитывать, что такой алгоритм обходит множество Жюлиа не равномерно: в некоторые области может попасть только за очень большое (практически недостижимое) время, и они не будут изображены на получающемся графике.

Интересные факты

Математики доказали, что произвольная замкнутая фигура на плоскости может быть сколь угодно близко приближена множеством Жюлиа для подходящего многочлена. Среди прочего, в качестве демонстрации собственной техники, ученым удалось построить достаточно хорошее приближение силуэта кота. По словам ученых, их пример наглядно демонстрирует, что динамика полиномиальных (то есть задаваемых многочленами) динамических систем может быть устроена максимально разнообразно. Они говорят, что предложенный ими пример будет полезен в теории таких систем^[2]

Ссылки

• Милнор, Дж. Голоморфная динамика. Вводные лекции. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 320 с. — ISBN 5-93972-006-4
• Простая программа для генерирования множеств Жюлиа (Windows, 370 кБ)
• Множества Мандельброта и Жюлиа на сайте FractalWorld

Примечания

1. ↑ ^{1 2} D. Saupe Efficient computation of Julia sets and their fractal dimension // Physica. — Amsterdam, 1987. — В. 28D. — С. 358-370.
2. ↑ Математики приблизили кота множествами Жюлиа