Брахмагупта

Брахмагупта
ब्रह्मगुप्त
Дата рождения:	598 год(0598)
Место рождения:	Бхинмал, Индия
Дата смерти:	660 год(0660)
Страна:	Индия
Научная сфера:	математика, астрономия

Брахмагупта (санскр. ब्रह्मगुप्त, ок. 598—660) — индийский математик и астроном.

Биография

Брахмагупта родился приблизительно в 598 в Бхинмале в штате Раджастхан Северо-Западной Индии, его отцом был Джиснугупта.^[1] Вероятно, он прожил большую часть жизни в Бхинмале во время правления (и, возможно, под покровительством) короля Вайяграмукха,^[2] поэтому его нередко именуют «Бхилламакарья» (учитель из Бхиллама). Брахмагупта был руководителем астрономической обсерватории в Удджайне, и за время руководства обсерваторией написал четыре текста по математике и астрономии:

• Cadamekela (624)
• Brahmasphutasiddhanta (628),
• Khandakhadyaka (665)
• Durkeamynarda (672).

Brahmasphutasiddhanta («Исправленный трактат Брахмы») — самый известный труд Брахмагупты. Арабский учёный Аль-Бируни (ок. 1050) в своей книге «Тарик аль-Хинд» утверждает, что когда багдадский халиф из династии Аббасидов Абу-ль-Аббас Абд-Аллах аль-Мамун был с посольством в Индии, он привёз из Индии книгу, которая была переведена на арабский язык под названием Sindhind. Предполагается, что это не что иное, как Brahmasphutasiddhanta Брахмагупты.

Хотя Брахмагупта был знаком с работами Ариабхаты, неизвестно, был ли он знаком также с работами Бхаскары. Работы Брахмагупты содержат многочисленные критические замечания в адрес современных ему астрономов, а содержание Brahmasphutasiddhanta свидетельствует о расколе среди индийских математиков того времени. Разногласия были обусловлены в значительной степени выбором астрономических параметров и теории. Критика теорий оппонентов Брахмагупты содержится в первых двенадцати главах Brahmasphutasiddhanta и отсутствует в тринадцатой и восемнадцатой главах.

Вклад в науку

Математика

Тождество Брахмагупты

Тождество Брахмагупты утверждает, что произведение двух сумм двух квадратов само является суммой двух квадратов, причём двояким образом.

$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2.$

К примеру,

$(1^2 + 4^2)(2^2 + 7^2) = 26^2 + 15^2 = 30^2 + 1^2.$

К доказательству теоремы Брахмагупты.

Теорема Брахмагупты

Основная статья: Теорема Брахмагупты

Пусть имеется вписанный четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикуляр на одну из его сторон. Будучи продолженным по другую сторону от точки пересечения диагоналей, этот перпендикуляр делит противоположную сторону четырёхугольника на две равные части.

Формула Брахмагупты

Основная статья: Формула Брахмагупты

Формула Брахмагупты является обобщением формулы Герона для площади треугольника. А именно, площадь S вписанного в окружность четырёхугольника со сторонами a, b, c, d и полупериметром p равна

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}.$

Известна ещё одна формула Брахмагупты для радиуса описанной окружности произвольного треугольника:

$R=\frac{ab}{2h_c}=\frac{bc}{2h_a}=\frac{ac}{2h_b},$

где a,b,c — стороны треугольника, $h_a$, $h_b$ и $h_c$ — его высоты.

Астрономия

Некоторые исследователи считают, что арабы познакомились с индийской астрономией в VIII веке исключительно благодаря труду Брахмагупты Brahmasphutasiddhanta.^[3] Халиф Аль-Мансур (712—775) пригласил в 770 в Багдад учёного из Удджайна по имени Канках, который преподавал индийскую систему астрономии на основе Brahmasphutasiddhanta. По просьбе халифа математик и философ Мухаммед аль-Фазари перевёл труды Брахмагупты на арабский язык.

Астрономические представления Брахмагупты, изложенные в Brahmasphutasiddhanta, свидетельствуют о высоком уровне его исследований и научной прозорливости. Так, в седьмой главе труда, которая называется «О затмении Луны», Брахмагупта опровергает представление о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце.^[2]

7.1. Если бы Луна была выше Cолнца, то её ближняя к Солнцу половина всегда была бы освещена.

7.2. Аналогично, освещенная Солнцем часть Луны всегда была бы видна, а неосвещенная часть оставалась бы невидимой.

7.3. Яркость [освещённой части Луны] увеличивается в направлении Солнца. В конце светлого полумесяца половина освещена и другая половина темна. Таким образом, высота рогов полумесяца может быть вычислена.

— Plofker, Kim (2007). "Mathematics in India". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.

Брахмагупта объясняет, что поскольку Луна ближе к Земле, чем Солнце, степень освещенности Луны зависит от взаимного расположения Солнца и Луны, и может быть вычислена исходя из величины угла между этими двумя небесными телами.

Важным вкладом Брахмагупты в астрономию являются методы расчета положения небесных тел с течением времени (эфемериды), их восходов и заходов, соединений, а также расчёта солнечных и лунных затмений. Брахмагупта подвёрг критике представления пуранической космологии о том, что Земля является плоской или полой. Он утверждал что Земля и небо имеют сферическую форму и что Земля движется. В 1030 арабский астроном Абу аль-Райхан аль-Бируни в своем труде «Та’рих аль-Хинд», прокомментировал работу Брахмагупты. Бируни отмечал, что на замечания критиков теории шарообразной Земли («Если бы это было так, камни и деревья будут падать с земли») Брахмагупта ответил:

«Напротив, если бы это было так, то Земля не могла бы сохранять свою форму даже в течение минут. […] Все тяжелые вещи притягиваются к центру земли […] Земля одинакова со всех сторон. Все люди на Земле стоят, и все тяжелые вещи падают на землю по закону природы, так устроена природа Земли, чтобы притягивать и держать вещи, также как природа воды — течь, огня — гореть, ветра — приводить в движение … Земля — это единственная низкая вещь, все предметы всегда вернутся к ней из любого направлении, куда бы вы их не бросили, и никогда не поднимутся вверх от земли».

— Brahmagupta, Brahmasphutasiddhanta (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)

О силе тяжести Земли Брахмагупта говорил:

«Тела падают на землю, так как это в природе Земли — притягивать их, так же как в природе воды -течь.»

— Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2.

Сочинения

Основной труд Брахмагупты, «Брахма-спхута-сиддханта» (628), содержит 25 разделов:

1. О состоянии земного шара и форме неба и земли.
2. Об оборотах светил и об определении времени; о том, как находить средние положения светил; об определении синуса дуги.
3. О составлении таблицы светил.
4. О трёх проблемах, а именно: о тени, о истекшей части дня и о гороскопе; а также о том, как выводить одно из них из другого.
5. О том, как светила появляются из-за лучей Солнца и как они скрываются за ними.
6. О том, как показывается молодой месяц, и о его двух рогах.
7. О затмении Луны.
8. О затмении Солнца.
9. О тени Луны.
10. О соединении и противостоянии светил.
11. О широтах светил.
12. О критике того, что содержится в книгах и таблицах, и о различении правильного от неправильного.
13. Об арифметике и её применении в исчислении расстояний и в других случаях.
14. Об уточнении среднего положения светил.
15. Об исправлении таблицы светил.
16. О точном исследовании трёх проблем.
17. Об отклонении затмений.
18. О точном определении появления молодого месяца и его двух рогов.
19. О методе «куттака».
20. О расчётах в размерах стихов и метрике.
21. Об окружностях и инструментах.
22. О четырёх мерах времени — по Солнцу, по восходу, по Луне и по лунным станциям.
23. О знаках для чисел и цифр в стихотворных сочинениях по этому предмету.
24. О доказательствах, не использующих математику.

Вторая работа Брахмагупты, «Кхандакхадьяка» (655), также представляет собой фундаментальный труд по астрономии.

«Брахма-спхута-сиддханта» была переведена на арабский язык во второй половине VIII в. Перевод, выполненный в виде таблиц — зиджа — с необходимыми пояснениями и рекомендациями, получил название «Большой Синдхинд».

Примечания

1. ↑ Shashi S. Sharma Mathematics & Astronomers of Ancient India. — Pitambar Publishing.
2. ↑ ^{1 2} Plofker, Kim (2007). «Mathematics in India». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
3. ↑ Brahmagupta, and the influence on Arabia. Retrieved 23 December 2007.

Публикации

• Brahmagupta. Brahma-Sphuta-Siddhanta. New Dehli, 1966. vol. 1.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. Успехи математических наук, 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
• Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. М.: Наука, 1977.
• Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. The Mathematics Education, 8, 1974, p. 33-36.
• Plofker K. The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook. Princeton University Press, 2007.
• Sarasvati Amma T. A. Geometry in ancient and medieval India. Delhi: Motilal Banarsidass, 1979.