Надбарьерное отражение

Надбарьерное отражение — этот термин употребляется, чтобы описать невозможное в классической физике явление отражения от потенциального барьера, высота которого меньше полной энергии частицы.

Примеры

Разная эффективная масса

Потенциальная энергия, как функция координаты, различная масса для частицы слева и справа от нуля

Переход в область с другой массой может быть аналогичной прохождению над барьером. Волновая функция записывается в двух областях как:

$\psi_1(x)=e^{ik_1x}+re^{-ik_1x} \,(x<0)$

$\psi_2(x)=te^{ik_2x}\,(x>0)$

где:

$k_1=\sqrt{\frac{2m_1E}{\hbar^2}}$ и $k_2=\sqrt{\frac{2m_2E}{\hbar^2}}$ модули волновых векторов.

Сшивка волновой функции на границе:

$1+r=t$

и токов вероятности

$\frac{\hbar k_1}{m_1}-r\frac{\hbar k_1}{m_1}=t\frac{\hbar k_2}{m_2}$

позволяет найти коэффициенты $r$ и $t$ по формулам:

$r=\frac{\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}}$

$t=\frac{2\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}}.$

Коэффициенты отражения и прохождения в этом случае записываются, как:

$R=|r|^2=\left(\frac{\sqrt{m_1}-\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}}\right)^2$

$T=\frac{k_2m_1}{m_2k_1}|t|^2=\frac{4\sqrt{m_1m_2}}{\left(\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}\right)^2}$

При равенстве эффективных масс нет никакого отражения.

Разная потенциальная энергия

Потенциальная энергия как функция координаты

Задачу о переходе в область с другой потенциальной энергией можно решить аналогично

$\psi_1(x)=e^{ik_1x}+re^{-ik_1x} \,(x<0)$

$\psi_2(x)=te^{ik_2x}\,(x>0)$

$k_1=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$

$k_2=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}}$

$1+r=t$

$i\hbar k_1-ir\hbar k_1=it\hbar k_2$

$r=\frac{k_1-k_2}{k_1+k_2}$

$t=\frac{2k_1}{k_1+k_2}$

В итоге получим коэффициенты отражения и прохождения

$R=|r|^2=\left(\frac{1-\sqrt{1-V/E}}{1+\sqrt{1-V/E}}\right)^2$

$T=\frac{k_2}{k_1}|t|^2=\frac{4\sqrt{1-V/E}}{\left(1+\sqrt{1-V/E}\right)^2}$