Параллельное поле

Параллельное поле или инвариантно постоянное поле — тензорное поле $A$ на многообразии $M$ с линейной связностью $\nabla$, инвариантное относительно параллельного перенесения вдоль кривых на $M$. Это означает, что для любых точек $p, q\in M$ тензор $A_p$ (значение тензорного поля $A$ в точке $p$) при параллельном перенесении в точку $q$ вдоль любой гладкой кривой, соединяющей точки $p$ и $q$, переходит в тензор $A_q$.

Поле тензоров $A$ будет параллельным тогда и только тогда, когда его ковариантная производная по направлению любого векторного поля $X$ тождественно равна нулю: $\nabla_X A=0$ или, иначе, когда ковариантный дифференциал $\nabla A$ поля $A$ равен нулю.

Подалгебра параллельных полей

Множество $\Pi(M,\nabla)$ параллельных полей образует подалгебру алгебры всех тензорных полей на многообразии $M$, инвариантную относительно свёрток тензорных полей и перестановок их индексов. Алгебра $\Pi(M,\nabla)$ естественным образом изоморфна алгебре тензоров в фиксированной точке $p$ многообразия $M$, инвариантных относительно однородной группы голономии связности $\nabla$.

• Для связности с полной группой голономии $GL(n,\R)$, где $n=\dim M$, алгебра $\Pi(M,\nabla)$ тривиальна, то есть порождается символом Кронекера $\delta^i_j$.
• Для римановой связности с группой голономии $O(n)$ — метрическим тензором $g=g_{ij}$ и обратным к нему $g^{-1}=g^{ij}$.
• Для римановой связности с группой голономии $SO(n)$ — тензорами $g$, $g^{-1}$ и формой объёма.

Особый интерес представляют параллельные поля дифференциальных форм в римановом многообразии со связностью Леви-Чивиты. С каждой такой формой $\omega$ ассоциируется (с помощью операции свёртки) ряд линейных операторов в пространстве дифференциальных форм, перестановочных с Лапласианом $\Delta$. Например, операторы внутреннего и внешнего умножения на форму $\omega$ или операторы ортогонального проектирования на инвариантные относительно группы голономии подпространства пространства дифференциальных форм. Изучение этих операторов позволяет получить оценки для размерностей пространств гармонических форм различных степеней, то есть (в компактном случае) для чисел Бетти многообразия. Наиболее содержательная теория (см. теорема Ходжа) развита для кэлеровых и кватернионных римановых пространств, в которых всегда имеется параллельное поле 2-форм и, соответственно, 4-форм. Любая параллельная дифференциальная форма в римановом пространстве гармонична. В компактном симметрическом римановом пространстве (также как и в компактом пространстве неотрицательного оператора кривизны) верно и обратное: любая гармоническая форма параллельна. Поэтому в обоих случаях, кольцо вещественных когомологий изоморфно кольцу параллельных дифференциальных форм.

Параллелезующая связность

Поле тензоров $A$ является параллельным полем относительно некоторой линейной связности $\nabla$ тогда и только тогда, когда оно инфинитезимально однородно, то есть когда в окрестности каждой точке $p$ многообразия $M$ существует поле реперов, относительно которого тензор $A_p$ имеет фиксированные координаты не зависящие от точки $p$. В этом случае множество реперов, относительно которых тензоры $A_p$, имеют фиксированные координаты образует $G$-структуру, то есть главное подрасслоение $P(A)$ расслоения реперов со структурной группой $G$, являющейся стабилизатором точки $A_p$ при действии группы $GL(n,\R)$ в пространстве тензоров. Поле $A$ параллельно относительно любой связности в $G$-структуре $P(A)$. В частности, любое сечение расслоения $P(A)$ (если оно существует) задает связность с нулевой кривизной, относительно которой поле $A$ параллельно.

Более сложным является вопрос о существовании связности без кручения, относительно которой данное инфинитезимальпо однородное поле параллельно. Если поле $A$ является псевдоримановой метрикой, то такая связность (связность Леви-Чивиты) всегда существует и единственна. Оказывается, что этот случай является исключительным: если для некоторого тензорного поля $A$ существует единственная связность без кручения, относительно которой оно параллельно, то структурная группа $G$ $G$-структуры $P(A)$ является псевдоортогональной группой и, следовательно, с полем $A$ ассоциируется псевдориманова метрика. Для широкого класса инфинитезимально однородных тензорных полей $A$ наличие связности без кручения, относительно которой поле параллельно, влечет за собой интегрируемость поля $A$, то есть существование локальной системы координат, в которой координаты поля $A$ постоянны. Это верно, например, для почти комплексной структуры, почти симплектической структуры и для любого поля $A$, для которого структурная группа $G$ расслоения $P(A)$ неприводима и не принадлежит известному списку неприводимых групп голономии пространств линейной связности без кручения.

Литература

• Кобаяси Ш., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1—2, М., 1981;
• Лихнерович А., Теория связностей в целом и группы голономии, пер. с франц., М., I960:
• Чжэнь Шэншзнь, Комплексные многообразия, пер. с англ., М., 19(И;
• Сhern S. S., в кн.: Algebraic geometry and topology. A symposium in honor of S. Lefschetz, N. Y., 1957, p. 103—2t;
• Berger M., «Bull. Soc. math. France», 1955, t. 83, p. 279- 330;
• Коbауashi S., Transformation groups in differential geometry, В. — Hdlb.—N. Y., 1972;
• Коbауashi S., Nagano Т., «J. Math. Soc. Japan», 19G5, v. 17, Я" 1, p. 84—101.

Для улучшения этой статьи желательно?: Связать? Воспользоваться подсказкой и установить ссылки из других статей Википедии. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.