Формула коплощади

Формула коплощади — интегральная формула связывающая интеграл по области и интеграл по поверхностям уровней данной функции или отображения $u$.

Для справедливости формулы коплощади функция и её область определения должны удовлетворять некоторым свойствам. Наиболее простой случай — гладкая функция заданная на открытой области $\R^n$. Также она верна для липшицевых и соболевских функций^[1].

Формулировка

Пусть $\Omega$ есть область в $\R^n$ и $u\colon\R^n\to\R^k$ Липшецево отображение. Тогда формула коплощади имеет вид

$\int\limits_\Omega g(x)\cdot|\wedge^k d_x u|\cdot dx=\int\limits_{\R^k}dt\cdot\left(\int\limits_{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{k}\right),$

где $\wedge^k d_x u$ обозначает внешнее произведение $k$ копий дифференциала $d_x u$, а $H_{k}$ — $n$-мерная хаусдорфова мера.

Частные случаи

Для вещественнозначной функции $u$, формула коплощади имеет вид

$\int\limits_\Omega g(x)\cdot|\nabla u(x)|\cdot dx=\int\limits_{-\infty}^\infty dt\cdot\left(\int\limits_{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-1}\right),$

где $\nabla u$ — градиент $u$.

Литература

1. ↑ Federer, H (1959), "«Curvature measures»", Transactions of the American Mathematical Society (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 93, No. 3) . — Т. 93 (3): 418–491, DOI 10.2307/1993504 .