Сфера Пуанкаре (физика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Сфера Пуанкаре (значения).

Изображение поляризации на сфере Пуанкаре языком параметров Стокса

Сфера Пуанкаре — двумерная сфера $S^2$, в декартовых координатах определяемая параметрами Стокса. Введена Анри Пуанкаре в 1892 году ^[1]. В других разделах физики этой модели соответствует сфера Блоха. От гомологической трёхмерной сферы (homology sphere) в физике остается лишь база расслоения Хопфа — сфера Римана. Информация о третьем измерении (фаза колебаний) отбрасывается. Это проективное упрощение позволило изготовить модель расслоения фазового пространства поляризаций в виде шара, что дало возможность наглядно рассчитывать конкретные волновые процессы.^[2]

В механике сфера Пуанкаре описывает состояния малых колебаний сферического маятника, фигуры Лиссажу одинаковой частоты. ^[3]

Построение

Каждой точке сферы приведём в соответствие лежащую на сфере малую ориентированную окружность с центром в этой точке. Параллельная проекция такой сферы на плоскость переведёт окружности во всевозможные эллипсы поляризации. Однако, каждый такой эллипс встречается два раза (что соответствует одинаковым колебаниям вектора напряжённости, но в противофазе). Сфера Пуанкаре может быть получена склеиванием пар точек главного меридиана, находящихся на одной параллели.

• 
• 
• 

Склеивание точек, соответствующих одинаковой поляризации. Показана только верхняя полусфера, соответствующая левым поляризациям. Азимутальный угол увеличивается вдвое. Тангенс угла восхождения также удваивается. ^[4]

Представление поляризованного света с помощью единственного комплексного числа получается стереографической проекцией сферы Пуанкаре на комплексную плоскость. ^[5]

См. также

• Поляризация волн
• Сфера Римана
• Расслоение Хопфа

Примечания

1. ↑ Poincare H. Theorie Mathematique de la lumiere, vol. 2, Gauthiers-Villars, Paris, 1892, ch. 12.
2. ↑ H. G. Jerrapd (1954). «Transmission of Light through Birefringent and Optically Active Media: the Poincare Sphere». JOSA 44 (8): 634-640.
3. ↑ В.И. Арнольд Математические методы классической механики. — изд. 3. — М., 1988. — С. 472. Гл. 2, пар. 5, Г. Пример 1. Малые колебания сферического маятника, Д. Пример 2. Фигуры Лиссажу. стр. 23-25.
4. ↑ Шерклифф У. Поляризованный свет. — М.:Мир, 1965. — С. 264. Гл. 2. Современные методы описания поляризованного света, рис. на стр. 28.
5. ↑ Аззам Р., Башара Н. (Azzam, Bashara) Эллипсометрия и поляризованный свет. — М.:Мир, 1981. — С. 584. Параграф. 1.8. Представление поляризованного света точками на сфере Пуанкаре, Рис. 1.22. на стр. 66.